[論文レビュー] The enhanced common index jump theorem for symplectic paths and non-hyperbolic closed geodesics on Finsler manifolds

Huagui Duan, Yiming Long+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 36被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティックパスにおける共通インデックスジャンプ定理を拡張し、閉じた測地線問題における非単調なモーレ・インデックス成長を扱えるようにした。コンパクトで単連結なフィン슬ラー多様体において、バンピーで非可逆な計量を持ち、有理コホモロジーが $T_{d,n+1}(x)$ に同型である場合、初期インデックスが正であれば、少なくとも $\frac{dn(n+1)}{2}$ 個の異なる非双曲的閉じた測地線が奇数のモーレ・インデックスを持つ。フラッグ曲率 $K \geq 0$ のとき、この条件は満たされる。奇数次元の球面では、$i(c) \geq 2$ の下で、少なくとも $d+1$ 個の原始的閉じた測地線が偶数のモーレ・インデックスを持ち、そのうち $d-1$ 個が非双曲的である。結果は鋭く、カトク–ジラーの例と一致しており、コホモロジー条件を満たす限り、無限個の閉じた測地線が存在するか、少なくとも1つ以上の非双曲的測地線が存在することが示唆される。

ABSTRACT

In this paper, we first generalize the common index jump theorem for symplectic matrix paths proved in 2002 by Long and Zhu in [LoZ], and get an enhanced version of it. As its applications, we further prove that for a compact simply-connected manifold $(M,F)$ with a bumpy, irreversible Finsler metric $F$ and $H^*(M;{\bf Q})\cong T_{d,n+1}(x)$ for some even integer $d\ge 2$ and integer $n\ge 1$, there exist at least $\frac{dn(n+1)}{2}$ distinct non-hyperbolic closed geodesics with odd Morse indices, provided the number of distinct prime closed geodesics is finite and every prime closed geodesic satisfies $i(c)>0$. Note that the last non-zero index condition is satisfied if the flag curvature $K$ satisfies $K\ge 0$. For an odd-dimensional bumpy Finsler sphere $(S^d,F)$, there exist at least $(d+1)$ distinct prime closed geodesics with even Morse indices, and at least $(d-1)$ of which are non-hyperbolic, provided the number of distinct prime closed geodesics is finite and every prime closed geodesic $c$ satisfies $i(c)\ge 2$. Note that the last index condition $i(c)\ge 2$ is satisfied if the reversibility $λ$ and the flag curvature $K$ of $(M,F)$ satisfy $\frac{λ^2}{(1+λ)^2}

研究の動機と目的

• シンプレクティックパスの古典的共通インデックスジャンプ定理を、閉じた測地線系における非単調なインデックス成長を扱えるように一般化すること。
• 特定の有理コホモロジーを持つコンパクトで単連結なフィン슬ラー多様体上での、非双曲的および奇数／偶数モーレ・インデックスをもつ閉じた測地線の数に対する鋭い下界を確立すること。
• 初期モーレ・インデックスが正または下から有界である場合に、曲率およびバンピーな計量の制約下で、閉じた測地線の多重度と安定性を解明すること。
• コホモロジー条件 $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ を満たす場合、少なくとも1つの非双曲的閉じた測地線が存在するか、あるいは無限個の異なる閉じた測地線が存在することを証明すること。
• 閉じた測地線を超えて、ハミルトニアンおよびシンプレクティック力学系における周期的軌道へと、拡張されたインデックスジャンプ定理を適用可能な枠組みを提供すること。

提案手法

• 非単調なインデックス成長を示すシンプレクティックパスに対して、反復 $\gamma_k^{2m_k \pm m}$ および $\gamma_k^{2m_k}$ のマスロフ型インデックスを正確に計算する、強化された共通インデックスジャンプ定理（定理3.5）を開発する。
• 強化された定理を用いてモーレ不等式を導出し、自由ループ空間 $\Lambda M$ のベッチ数をバウンドするための代数的和 $\sum_{p=0}^{2N} (-1)^p M_p$ を分析する。
• インデックスジャンプ構造を応用し、$i(c_k^{2m_k}) = 2N$ および $i(c_k^{2m_k \pm m})$ が $2N$ のまわりで対称な区間内にあることを証明することで、インデックスの偶奇性および非双曲性を制御可能にする。
• コホモロジー条件 $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ を用いて、$b_{2N}(\Lambda M) = dn(n+1)/D$ を導出し、背理法の根拠とする。
• 双曲的測地線では $C(M_k) = 0$ かつ $i(c_k^m) = m i(c_k)$ であるという事実を用い、有限個の双曲的測地線しか存在しないと仮定した場合の背理を導く。
• 曲率の下限（$K \geq 0$ または $\lambda^2/(1+\lambda)^2 < K \leq 1$）を適用し、$i(c) > 0$ または $i(c) \geq 2$ を保証することで、定理に必要なインデックス条件を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトで単連結なフィン슬ラー多様体 $M$ に対して、$H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ かつすべての原始的閉じた測地線について $i(c) > 0$ が成り立つとき、奇数のモーレ・インデックスをもつ異なる非双曲的閉じた測地線の最小数は何か？
• RQ2 奇数次元のバンピーなフィン슬ラー球面 $(S^d, F)$ において、$i(c) \geq 2$ の下で、偶数のモーレ・インデックスをもつ原始的閉じた測地線はいくつ存在するか？
• RQ3 コホモロジー条件 $H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ を満たすコンパクトで単連結なバンピーなフィン슬ラー多様体上では、少なくとも1つの非双曲的閉じた測地線が存在するか、あるいは無限個の異なる閉じた測地線が存在することが保証できるか？
• RQ4 曲率制約 $\lambda^2/(1+\lambda)^2 < K \leq 1$ の下で、$S^d$ 上の偶数のモーレ・インデックスをもつ非双曲的閉じた測地線の数に対する鋭い下界は何か？
• RQ5 拡張された共通インデックスジャンプ定理は、閉じた測地線を超えて、ハミルトニアンやシンプレクティック力学系の他の系へどの程度一般化可能か？

主な発見

• コンパクトで単連結なフィン슬ラー多様体 $M$ に対して、$H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ かつすべての原始的閉じた測地線について $i(c) > 0$ が成り立つとき、少なくとも $\frac{dn(n+1)}{2}$ 個の異なる非双曲的閉じた測地線が奇数のモーレ・インデックスを持つ。
• 奇数次元のバンピーなフィン슬ラー球面 $(S^d, F)$ において、$i(c) \geq 2$ の下で、少なくとも $d+1$ 個の異なる原始的閉じた測地線が偶数のモーレ・インデックスを持ち、そのうち少なくとも $d-1$ 個が非双曲的である。
• 下界 $\frac{dn(n+1)}{2}$ および $d+1$ は、カトクとジラーが構成した例によって鋭さが確認されている。
• $i(c) > 0$ はフラッグ曲率 $K \geq 0$ のとき満たされ、$i(c) \geq 2$ は $\frac{\lambda^2}{(1+\lambda)^2} < K \leq 1$ のとき成り立つ。ここで $\lambda$ は逆性の度合いを表す。
• 異なる原始的閉じた測地線の数が有限であると仮定した場合、$H^*(M;\mathbb{Q}) \cong T_{d,n+1}(x)$ を満たすコンパクトで単連結なバンピーなフィン슬ラー多様体上では、少なくとも1つの非双曲的閉じた測地線が存在するか、あるいは無限個の異なる閉じた測地線が存在する。
• 強化された共通インデックスジャンプ定理により、反復におけるインデックスジャンプを正確に制御でき、モーレ理論的背理法を用いて鋭い多重度および安定性の結果を導出可能である。