[論文レビュー] Minimal Lagrangian tori in Kahler Einstein manifolds

Edward Goldstein|ArXiv.org|Jul 22, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、トーラス作用を用いて、正のスカラー曲率をもつケーラー＝アインシュタイン多様体における最小ラグラジアントーラスを構成する。n次元複素多様体のトーリックケーラー＝アインシュタイン多様体に対して、唯一の正則軌道が最小ラグラジアン部分多様体であることを証明し、k → ∞ のとき局所的にそれへ収束する非平坦で T^{n-1}-不変な最小ラグラジアントーラスの列が存在することを示している。曲率および距離の両方が0に近づく。

ABSTRACT

In this paper we use structure preserving torus actions on Kahler-Einstein manifolds to construct minimal Lagrangian submanifolds. Our main result is: Let N^2n be a Kahler-Einstein manifold with positive scalar curvature with an effective T^n-action. Then precisely one regular orbit L of the T-action is a minimal Lagrangian submanifold of N. Moreover there is an (n-1)-torus T^n-1 in T^n and a sequence of non-flat immersed minimal Lagrangian tori L_k in N, invariant under T^n-1 s.t. L_k locally converge to L (in particular the supremum of the sectional curvatures of L_k and the distance between L_k and L go to 0 as k goes to infinity.

研究の動機と目的

• 正のスカラー曲率をもつケーラー＝アインシュタイン多様体における最小ラグラジアン部分多様体を、トーラス作用からの対称性を用いて構成すること。
• N における最小ラグラジアン部分多様体と、正則バンドル K(N) における特殊ラグラジアン部分多様体の間の対応を確立すること。
• トーリックケーラー＝アインシュタイン多様体における複雑性1のトーラス作用（T^{n-1}作用）の状況を分析し、埋め込まれた最小ラグラジアントーラスを構成すること。
• これらの構成されたトーラスが、k → ∞ のとき一意な最小ラグラジアン軌道へ局所的に収束することを証明し、曲率および距離が0に近づくこと。

提案手法

• N における最小ラグラジアン部分多様体と、正 Ricci平坦なケーラー計量および正則体積形式をもつ正則バンドル K(N) における T-不変特殊ラグラジアン部分多様体との間の対応を利用する。
• N および K(N) におけるミオム・マップを用いて、K(N) の全空間に対するシンプレクティック減少を適用し、問題を商空間 Q における Y'-不変特殊ラグラジアン部分多様体の探索に還元する。
• 商空間 S = X/T に定義されたベクトル場 W を導入し、Y'-不変特殊ラグラジアン部分多様体が W-フローの軌道に対応することを示す。
• K(N) に定義された径方向ベクトル場 Y を導入し、そのフローがファイバーをスケーリングすることを用い、その射影 Y' を用いて特殊ラグラジアン部分多様体の不変性条件を定義する。
• 実解析幾何学およびフロー力学を用いて、W-フローの軌道が周期的であり、関連する最小ラグラジアントーラスが非平坦であることを証明する。
• R-作用の完全性および写像 ξ の連続性を用いて、周期的軌道が稠密に存在し、一意な最小軌道へ収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有効な T^n-作用のもとで、正のスカラー曲率をもつトーリックケーラー＝アインシュタイン多様体に、一意な最小ラグラジアントーラスが存在するか？
• RQ2 一意な最小軌道へ局所的に収束する非平坦で T^{n-1}-不変な最小ラグラジアントーラスの列を構成できるか？
• RQ3 列のインデックス k → ∞ のとき、構成されたトーラスと最小軌道との間の曲率および距離の幾何的挙動はいかなるものか？
• RQ4 N における最小ラグラジアン部分多様体と Q における Y'-不変特殊ラグラジアン部分多様体との間の対応は、構成にどのように寄与するか？
• RQ5 商空間 S における W-フローが、埋め込み可能な最小ラグラジアントーラスを生成する周期的軌道を生成する条件は何か？

主な発見

• 正のスカラー曲率をもつトーリックケーラー＝アインシュタイン多様体 N^{2n} における T^n-作用の正則軌道 L が、唯一つ存在し、それが最小ラグラジアン部分多様体である。
• N に、非平坦で T^{n-1} ⊂ T^n の余次元1部分トーラスに不変な最小ラグラジアントーラス L_k の列が存在する。
• 列 L_k は、局所的に一意な最小ラグラジアン軌道 L へ収束し、L_k の最大曲率（断面曲率）の上界が k → ∞ のとき0に近づく。
• L_k と L 間の距離も k → ∞ のとき0に近づき、法ベクトル場の C^∞ 位相において収束する。
• 構成されたトーラス L_k は非平坦である。これは、Killingベクトル場 X_v の長さの二乗が、そのモーメント写像 τ に依存するため、L_k 上で定数でないからである。
• 商空間 S における W-フローの周期的軌道は、T^{n-1}-不変最小ラグラジアントーラス L_k を生成し、このような軌道は解の空間において稠密である。