[論文レビュー] Minimal modularity lifting for GL2 over an arbitrary number field

David J. Hansen|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、任意の数体上での2次元の奇数ガロア表現に対して、モジュラー性上昇定理を、モジュールではなく複体に一般化したターナー＝ワイルズ法を用いて確立する。主な結果は、予想3.1が成り立つ限り、ガロアの変形環 $ R_{\bar{\rho}}^{\text{min}} $ が局所化されたヘッケ環 $ \mathbf{T}_{\frak{m}} $ に同型であり、コホモロジー $ H^d(Y, \mathcal{O})_{\frak{m}} $ が $ \textbf{T}_{\frak{m}} $ 上自由になることである。これは、完全実体やCM体を超えるモジュラー性結果の拡張を実現する。

ABSTRACT

We prove a modularity lifting theorem for minimally ramified deformations of two-dimensional odd Galois representations, over an arbitrary number field. The main ingredient is a generalization of the Taylor-Wiles method in which we patch complexes rather than modules.

研究の動機と目的

• 完全実体やCM体を超える数体におけるモジュラー性上昇定理を拡張すること。これは、古典的手法がコホモロジー的および平坦性の制約により失敗するためである。
• 古典的なターナー＝ワイルズ法の制限を克服すること。この方法は $ \mathbf{T}_{\frak{m}} $ が $ \mathcal{O} $-平坦でなければならないことを要求し、2つの連続する次数でのコホモロジーに制限される。
• モジュールではなくモジュールの複体をパッチングすることにより、古典的手法を任意の数体に一般化すること。
• コホモロジー的予想（予想3.1）の下で、$ R_{\bar{\rho}}^{\text{min}} \xrightarrow{\sim} \mathbf{T}_{\frak{m}} $ を証明すること。これは $ \mathbf{T}_{\frak{m}} $ に $ \mathcal{O} $- torsion が存在する場合でも成立する。

提案手法

• 自由 $ S_{\infty} $-加群の有限ランクの複体 $ F_{\infty}^{\bullet} $ を構成し、長さ $ \leq r $ の範囲に集中させる。ここで $ r $ は $ F $ の非実な場所の数である。
• 全射 $ \phi_{\infty}: R_{\infty} \twoheadrightarrow R $ と $ S_{\infty} $ のイデアル $ \mathfrak{a} $ を構成し、$ H \simeq H_{\infty}/\mathfrak{a}H_{\infty} $ が $ R_{\infty} $-加群として同型になるようにする。
• 可換代数の結果（定理2.1.1）を適用し、$ H^{\ast}(F_{\infty}^{\bullet}) $ の $ S_{\infty} $-スーケージョンの次元が $ 1 + q - r $ 以上であることを示す。ここで $ q = \dim_k H^1_{\emptyset}(F, \mathrm{ad}^0\bar{\rho}(1)) $ である。
• アウスランダー＝ブッシャルムの公式を用いて、$ H_{\infty} $ が $ R_{\infty} $ 上自由であることを示す。これは $ S_{\infty} $-深さが $ 1 + q - r $ 以上であることを示すことで達成され、双対性と $ H_{\infty}^{\ast} $ の $ R_{\infty} $-加群構造によって確立される。
• 合同部分群 $ Y_0(Q_n) $ 上で係数を $ S_n = \mathcal{O}[(\mathbb{Z}/p^n)^q] $ にとった、ヘッケ代数 $ \mathbf{T}_{Q_n} $ とコホモロジー複体 $ C_n^\bullet $ の整合性のある系の構成により、定理2.2.1の仮定を満たす。
• 複体 $ C_n^\bullet $ がパッチングに適した条件を満たしていることを検証する。これには、ヘッケ作用との整合性と、非アイゼンシュタイン素数での局所化が含まれる。これにより、主なパッチング定理の適用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の数体上の $ \mathrm{GL}_2 $ に対して、コホモロジーが多数の次数で非ゼロである場合でも、モジュラー性上昇定理を確立できるか？
• RQ2 ヘッケ環 $ \mathbf{T}_{\frak{m}} $ に $ \mathcal{O} $- torsion が存在する場合、古典的手法は失敗するか？そして、新しいパッチング法によってこれを克服できるか？
• RQ3 モジュールではなく複体をパッチングすることで、非最小レベル設定や $ \mathcal{O} $-平坦性の欠如下でもモジュラー性上昇を可能にすることができるか？
• RQ4 $ \mathbf{T}_{\frak{m}} $ が $ \mathcal{O} $-平坦でない場合でも、$ R_{\bar{\rho}}^{\text{min}} \xrightarrow{\sim} \mathbf{T}_{\frak{m}} $ を証明することは可能か？
• RQ5 コホモロジー $ H^d(Y, \mathcal{O})_{\frak{m}} $ がコホモロジー的予想の下で $ \mathbf{T}_{\frak{m}} $ 上自由であることを示せるか？

主な発見

• 予想3.1が成り立つ限り、ガロアの変形環 $ R_{\bar{\rho}}^{\text{min}} $ は局所化されたヘッケ環 $ \mathbf{T}_{\frak{m}} $ に同型である。
• 同じ予想的仮定の下で、最高次数のコホモロジー $ H^d(Y, \mathcal{O})_{\frak{m}} $ は $ \mathbf{T}_{\frak{m}} $ 上自由な加群である。
• パッチング法により、自由 $ S_{\infty} $-加群の有限ランクの複体 $ F_{\infty}^{\bullet} $ が構成され、$ r $ 個の連続する次数に集中する。ここで $ r $ は $ F $ の非実な場所の数である。
• $ H_{\infty} $ の $ S_{\infty} $-深さが正確に $ 1 + q - r $ であることが、アウスランダー＝ブッシャルムの公式を用いて示された。ここで $ q = \dim_k H^1_{\emptyset}(F, \mathrm{ad}^0\bar{\rho}(1)) $ である。
• $ F_{\infty}^{\bullet} $ は $ H_{\infty} $ の長さ $ r $ の自由分解を与えるため、$ \mathrm{projdim}_{S_{\infty}}(H_{\infty}) = r $ である。これは深さの議論に不可欠である。
• 構成により、すべての $ i $ に対して $ H^{i}(F_{\infty}^{\bullet}) = 0 $ となる（最高次数を除く）。したがって $ F_{\infty}^{\bullet} $ は $ H_{\infty} $ の分解であり、$ H_{\infty} $ は $ R_{\infty} $ 上自由である。