[論文レビュー] Minimal volume entropy of simplicial complexes

Ivan Babenko, Stéphane Sabourau|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2020

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、基本群の成長性およびループ空間の位相的性質を用いて、有限単体複体の最小体積エントロピーが正またはゼロであるための位相的条件を確立する。本稿は、複体が本質的であり、基本群が代数的エントロピーの意味で「厚い」（thick）かつループ空間が m- tame である場合、最小体積エントロピーが次元にのみ依存する正の定数で下から抑えられることを証明する。これは、単体体積がゼロであるが最小体積エントロピーが正のまま残る重要なケースを解決する。

ABSTRACT

This article deals with topological assumptions under which the minimal volume entropy of a closed manifold, and more generally of a finite simplicial complex, vanishes or is positive. In the first part of the article, we present complementing topological conditions expressed in terms of the growth of the fundamental group of the fibers of maps from a given finite simplicial complex to simplicial complexes of lower dimension which ensure that the minimal volume entropy of the simplicial complex either vanishes or is positive. We also give examples of finite simplicial complexes with zero simplicial volume and arbitrarily large minimal volume entropy. In the second part of the article, we present topological assumptions related to the exponential growth of certain subgroups in the fundamental group of a finite simplicial complex and to the topology of the loop space of its classifying space under which the minimal volume entropy is positive. Several examples are presented throughout the text.

研究の動機と目的

• 有限単体複体の最小体積エントロピーが正またはゼロであることを保証する位相的条件を特定すること。
• 高次元において、単体体積がゼロであれば最小体積エントロピーもゼロであるかどうかを調査すること。
• 代数的エントロピーおよびループ空間位相を用いて、従来の最小体積エントロピーに関する結果を一般化すること。
• 単体体積がゼロであるが最小体積エントロピーが任意に大きな有限単体複体の例を構成すること。
• 基本群の「厚さ」とループ空間の m-tameness に依存する最小体積エントロピーの下界を確立すること。

提案手法

• X 上のすべての局所リーマン計量 g に対して、ent(X,g) · vol(X,g)^{1/m} の下界を最小体積エントロピーとして定義する。
• 基本群 π₁(X) と標的群 G 間の準同型 φ: π₁(X) → G を介して、X の基本群を G に関連付ける ϕ-本質的性質を定義する。
• すべての指数的成長を示す有限生成部分群が代数的エントロピー ≥ δ を満たす群を δ-厚い群と定義する。
• Cayley図の語距離と球の体積を用いて、被覆空間における体積成長の推定を適用する。
• 分類空間 K(G,1) のループ空間における m-tameness 条件を用いて、短いループの成長を制御する。
• H₀ = φ(H) が指数的成長を示すとき、ent(H₀) ≤ ent(H) ≤ ent(X,g) · ℓ_φ(X) を通じて ent(X,g) の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限単体複体の最小体積エントロピーが正またはゼロであるための位相的条件は何か？
• RQ2 有限単体複体が単体体積がゼロであっても最小体積エントロピーが正である可能性はあるか？
• RQ3 基本群の部分群の代数的エントロピーに依存する最小体積エントロピーの均一な下界は存在するか？
• RQ4 K(G,1) のループ空間の m-tameness 性は、X の最小体積エントロピーとどのように関係するか？
• RQ5 単体体積がゼロであるが最小体積エントロピーが任意に大きな有限単体複体の例を構成できるか？

主な発見

• 有限単体複体の最小体積エントロピーは、複体が ϕ-本質的であり、標的群 G が δ-厚く、K(G,1) のループ空間が m-tamed である場合、正である。
• 最小体積エントロピーに対して ω(X) ≥ λₘδ の下界が確立され、λₘ は次元 m のみに依存する正の定数である。
• 本稿は、単体体積がゼロであるが最小体積エントロピーが任意に大きな有限単体複体の例を構成し、一般には単体体積が最小体積エントロピーを制御しないことを示している。
• 基本群が δ-厚い（例えば、曲率が正負に挟まれた多様体の等長群の離散部分群など）有限単体複体では、最小体積エントロピーが正の定数で下から抑えられる。
• すべての半径 R の球の体積が ≤ aₘR^m であるとき、最小体積エントロピーは δ/R で下から抑えられ、局所幾何とエントロピーを結びつける。
• 本結果は、単体体積がゼロであっても、代数的エントロピーおよびループ空間位相を用いて最小体積エントロピーの正の性質を検出可能であることを示し、従来の結果を一般化する。