[論文レビュー] On the joint spectral radius for isometries of non-positively curved spaces and uniform growth

Emmanuel Breuillard, Koji Fujiwara|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 37被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、非正曲率空間における連続スペクトル半径の幾何的枠組みを導入し、Berger-WangおよびBochiの結果を $δ$-超曲空間および非コン pact型の対称空間へ拡張する。幾何的Berger-Wang恒等式とBochi型不等式を確立し、非仮想的ノルム群がそのような空間に作用する場合の一様指数的成長を証明する。成長率の下界は次元および曲率の上限にのみ依存する。

ABSTRACT

We recast the notion of joint spectral radius in the setting of groups acting by isometries on non-positively curved spaces and give geometric versions of results of Berger-Wang and Bochi valid for $δ$-hyperbolic spaces and for symmetric spaces of non-compact type. This method produces nice hyperbolic elements in many classical geometric settings. Applications to uniform growth are given, in particular a new proof and a generalization of a theorem of Besson-Courtois-Gallot.

研究の動機と目的

• 等長群作用が $δ$-超曲空間および非コン pact型対称空間に作用する場合のBerger-Wang恒等式およびBochi不等式の一般化。
• 漸近的連続移動距離 $\ell(S)$ および最小移動距離 $L(S)$ を用いた連続スペクトル半径の幾何的特徴付け。
• 次元および曲率の緩い制約の下で、非正曲率空間に等長的に作用する有限生成群の均一指数的成長の確立。
• 局所的に対称な空間におけるエントロピーと体積成長に関するBesson-Courtois-Gallot定理の新たな証明および一般化。
• 移動距離に基づく基準を用いて、幾何的群作用における双曲的元および自由部分半群の存在を調査。

提案手法

• 距離空間 $X$ 上の等長写像の有限集合 $S$ に対して、連続最小移動距離 $L(S) = \inf_{x \in X} \max_{s \in S} d(x, sx)$ を定義する。
• 古典的連続スペクトル半径を一般化する漸近的連続移動距離 $\ell(S) = \lim_{n \to \infty} L(S^n)/n$ を導入する。
• 曲率および有界包摂性の性質を用いて、幾何的Berger-Wang恒等式 $\ell(S) = \lambda_\infty(S)$ を確立する。ここで $\lambda_\infty(S) = \sup_n \frac{1}{n} \lambda(S^n)$ である。
• リッチ曲率が下から有界な多様体におけるBishop-Gromovの不等式および有界包摂性を用いて体積成長を制御し、一様な境界を得る。
• 幾何的Berger-Wang恒等式を応用し、次元 $d$、曲率 $K \leq -a^2$ のCAT(0)空間に作用する非仮想的ノルム群が、$\frac{1}{N} \log 2$ 以上の下界を有する一様指数的成長を示す。ここで $N$ は $d$ および $a$ のみに依存する。
• 等長写像の移動距離および双曲性を用いて、$S^N$ に自由半群が存在することを活用し、一様指数的成長を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $δ$-超曲空間および非コン pact型対称空間の等長写像に対して、幾何的Bochi型不等式は成立するか？
• RQ2 次元および曲率にのみ依存する成長率を持つように、非正曲率空間に作用する離散等長写像群の均一指数的成長を確立できるか？
• RQ3 特に対称空間に対して、線形代数を避ける幾何的証明がBerger-Wang恒等式およびBochi不等式に可能か？
• RQ4 CAT(0)立方複体または中間空間の等長写像は、幾何的Bochi不等式を満たすか？
• RQ5 対称空間やユークリッド的ビルディングにおいて、不等式 $\lambda_k(S) \geq L(S) - C$ の乗法的定数 $C$ を除去できるか？

主な発見

• 幾何的Berger-Wang恒等式が成立する：$δ$-超曲空間および非コン pact型対称空間における等長作用に対して $\ell(S) = \lambda_\infty(S)$ が成り立つ。
• $d$-次元の完全なリーマン多様体でリッチ曲率 $\geq -(d-1)a^2$ を満たす場合、定数 $K(d,a)$ を用いた有界包摂性を持つため、体積成長に一様な制御が可能である。
• $d$-次元のCAT(0)空間で $K \leq -a^2$ を満たす $X$ に作用する任意の有限生成離散部分群 $\Gamma = \langle S \rangle \leq \mathrm{Isom}(X)$ は、仮想的ノルム群であるか、そうでなければ成長率 $h(S) \geq \frac{1}{N} \log 2$ を持つ一様指数的成長を示す。ここで $N = N(K(d,a)^3)$ である。
• $S^N$ に2つの自由生成元が存在することは、$N$ が $d$ および $a$ のみに依存し、特定の生成集合とは無関係に一様指数的成長を示す。
• 一様指数的成長の証明は生成集合 $S$ の選択に依存せず、曲率および次元にのみ依存する。これにより、Besson-Courtois-Gallot定理の新たな証明が得られる。
• 本手法は、特に対称空間および $δ$-超曲空間において、連続スペクトル半径理論における線形代数的技法の幾何的代替を提供する。