[論文レビュー] Minimizing and Computing the Inverse Geodesic Length on Trees

Serge Gaspers, Joshua Lau|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 31被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、動的計画法と多項式乗算を活用して、木における逆測地的長さ（IGL）を最小化する、部分指数的時間・多項式空間のアルゴリズムを提示する。IGLが木上でバランス型であることを証明し、n/kをパラメータとして固定パラメータ可 tractability（FPT）を達成する。重心分解と高速畳み込みを用いて、木の距離分布をO(n log²n)時間で計算する。

ABSTRACT

For any fixed measure $H$ that maps graphs to real numbers, the MinH problem is defined as follows: given a graph $G$, an integer $k$, and a target $τ$, is there a set $S$ of $k$ vertices that can be deleted, so that $H(G - S)$ is at most $τ$? In this paper, we consider the MinH problem on trees. We call $H$ "balanced on trees" if, whenever $G$ is a tree, there is an optimal choice of $S$ such that the components of $G-S$ have sizes bounded by a polynomial in $n/k$. We show that MinH on trees is FPT for parameter $n/k$, and furthermore, can be solved in subexponential time, and polynomial space, if $H$ is additive, balanced on trees, and computable in polynomial time. A measure of interest is the Inverse Geodesic Length (IGL), which is used to gauge the connectedness of a graph. It is defined as the sum of inverse distances between every two vertices: $IGL(G)=\sum_{\{u,v\} \subseteq V} \frac{1}{d_G(u,v)}$. While MinIGL is W[1]-hard for parameter treewidth, and cannot be solved in $2^{o(k+n+m)}$ time, even on bipartite graphs with $n$ vertices and $m$ edges, the complexity status of the problem remains open on trees. We show that IGL is balanced on trees, to give a $2^{O((n\log n)^{5/6})}$ time, polynomial space algorithm. The distance distribution of $G$ is the sequence $\{a_i\}$ describing the number of vertex pairs distance $i$ apart in $G$: $a_i=|\{\{u, v\}: d_G(u, v)=i\}|$. We show that the distance distribution of a tree can be computed in $O(n\log^2 n)$ time by reduction to polynomial multiplication. We extend our result to graphs with small treewidth by showing that the first $p$ values of the distance distribution can be computed in $2^{O(tw(G))} n^{1+\varepsilon} \sqrt{p}$ time, and the entire distance distribution can be computed in $2^{O(tw(G))} n^{1+\varepsilon}$ time, when the diameter of $G$ is $O(n^{\varepsilon'})$ for every $\varepsilon'>0$.

研究の動機と目的

• 木におけるMinIGLの計算複雑度に関する未解決問題を解消すること。
• 木および木幅が小さいグラフにおける逆測地的長さ（IGL）を効率的に計算するアルゴリズムを開発すること。
• MinH問題がパラメータn/kに関して固定パラメータ可 tractable（FPT）となる条件を確立すること。
• 多項式乗算と分治法を用いて、木および有界木幅グラフの距離分布を効率的に計算すること。
• 結果を木幅が小さいグラフへと拡張し、距離分布計算においてnに対して準平方根的依存性を達成すること。

提案手法

• 木における「バランス型」測度の概念を導入し、最適な頂点削除によって得られる部分木のサイズがn/kに関して多項式的になることを保証する。
• 動的計画法を用いて、入力木の構造に適合する順序付き部分木のマッチングによりIGLを最小化する。
• 重心分解を用いて木を再帰的に分割し、高速多項式乗算により距離分布を計算する。
• 距離分布計算を低次元空間における赤-青多項式問題に還元し、再帰的に解く。
• 木分解に基づく分治法を用い、k次元における複数の赤-青多項式問題のインスタンスを同時に解く。
• 計算幾何学および多項式乗算の高度な技術を活用し、有界木幅グラフにおいて準平方根時間複雑度を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 木におけるMinIGL問題はパラメータn/kに関して固定パラメータ可 tractable（FPT）か？
• RQ2 木の逆測地的長さは部分指数的時間かつ多項式空間で計算可能か？
• RQ3 木の距離分布を計算する最速のアルゴリズムは何か？
• RQ4 nが大きい場合、木幅が小さいグラフの距離分布は、すべての頂点対最短経路（APSP）よりも速く計算可能か？
• RQ5 IGL測度はFPTアルゴリズムに必要な「木上でバランス型」という条件を満たすか？

主な発見

• IGLが木上でバランス型であるため、木におけるMinIGLはパラメータn/kに関してFPTである。
• 2^O((n log n)^{5/6})時間、O(n³)空間のアルゴリズムを、木におけるMinIGLに提示する。
• 重心分解と高速多項式乗算を用いて、木の距離分布をO(n log²n)時間で計算可能である。
• 木幅kのグラフに対して、距離分布の最初のp個の値は、任意のε > 0に対して2^O(k)n^{1+ε}√p時間で計算可能である。
• 単位辺重みをもつ有界木幅グラフの距離分布全体は、2^O(tw(G))n^{3/2+ε}時間で計算可能である。
• 標準的なAPSPアルゴリズムのO(kn²)時間と比較して、nに対して準平方根的依存性を達成し、性能が向上している。