[論文レビュー] Minimizing relative entropy of path measures under marginal constraints

Aymeric Baradat, Christian Léonard|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、参考測度の非可約性を仮定したもとで、マルコフ的手法を用いて、複数の周辺および同時端点制約の下で経路測度の相対エントロピーを最小化することにより、シュレーディンガー問題を一般化する。主な結果は、ラドン＝ニコディム導関数が加法的関数と境界項の指数関数に因数分解されることであり、古典的な因数分解を複数時刻の制約に拡張する。

ABSTRACT

We study generalizations of the Schrödinger problem in statistical mechanics in two directions: when the density is constrained at more than two times, and when the joint law of the initial and final positions for the particles is prescribed. This is done in agreement with the so-called Brödinger problem recently introduced to regularize Brenier's variational model for incompressible fluids. We recover generalizations of the standard factorization result for the Radon-Nikodym derivative of the solution $P$ with respect to the reference measure $R$: this density can be written in terms of an additive functional on the set of constrained times. The specificity of this work is that we place ourselves in the case when $R$ is Markov (or reciprocal), and that we use Markovian methods rather than classical convex analysis arguments. In this setting, it appears that a natural assumption to be made on the reference measure $R$ is of irreducibility type.

研究の動機と目的

• 2つ以上の時刻周辺分布と同時初期・終端分布を含む設定へのシュレーディンガー問題の拡張を目的とする。
• 一様周辺分布（非圧縮性）と端点制約を組み合わせたブローディンガー問題を理解することを目的とする。
• これらの一般化された制約の下で、解となる経路測度の因数分解構造を導出することを目的とする。
• 凸解析ではなくマルコフ的手法を用いて解の構造を確立することを目的とする。
• 参考測度の非可約性が因数分解結果を可能にする重要な条件であることを特定することを目的とする。

提案手法

• 参考測度 $ R $ がマルコフ的または再帰的であるような経路測度上のエントロピー最小化問題を定式化する。
• マルコフ的手法を適用し、周辺制約の下で、最小化子 $ P $ が $ R $ のマルコフ性を引き継ぐことを示す。
• 制約時刻集合 $ \mathcal{T} $ のみに値をとる加法的関数 $ A $ を導入し、周辺制約を捉える。
• 条件付き確率のトリック（補題 B.2）を用いて、条件付き測度と周辺測度の関係を確立し、絶対連続性のもとで一貫性を保証する。
• 解の密度を $ \frac{dP}{dR} = \exp(\eta(X_0,X_1) + A([0,1])) $ と導出する。ここで $ \eta $ は端点制約を符号化する。
• 2インデックスマルティンゲールの正則性結果を用いて、加法的関数 $ A $ の存在性と連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つ以上の時刻周辺分布が制約される場合、シュレーディンガー問題の因数分解構造はどのように一般化されるか？
• RQ2 参考測度 $ R $ にどのような条件が課わられると、最小化子 $ P $ が因数分解された密度形をとるようになるか？
• RQ3 凸解析に代えて、マルコフ的手法を用いてエントロピー最小化経路測度の構造を導出できるか？
• RQ4 初期・終端分布の同時制約と複数の周辺制約は、解の形にどのように影響を与えるか？
• RQ5 参考測度の非可約性は、ラドン＝ニコディム導関数の因数分解を可能にする上で果たす役割は何か？

主な発見

• 参考測度 $ R $ が非可約である限り、相対エントロピーの最小化子 $ P $ は因数分解された密度 $ \frac{dP}{dR} = \exp(\eta(X_0,X_1) + A([0,1])) $ を持つ。ここで $ \eta $ は端点制約を符号化し、$ A $ は $ \mathcal{T} $ 上の加法的関数である。
• 加法的関数 $ A $ は、$ t \in \mathcal{T} $ における経路過程 $ X_t $ の値にのみ依存し、制約時刻集合 $ \mathcal{T} $ のみに値をとる。
• 参考測度 $ R $ がマルコフ的であれば、解 $ P $ もマルコフ的であり、非可約性仮定のもとで、$ P $ と $ R $ の密度は $ X_0 $ と $ X_1 $ の関数である。
• 関連する2インデックスマルティンゲールの連続性および左極限性により、加法的関数 $ A $ の正則性が保証される。
• 条件付き確率のトリック（補題 B.2）により、$ \mathbf{q}_Y $-a.e. な $ y $ に対して $ \mathbf{q}^{Y=y} $-a.s. で成り立つ性質が、周辺測度 $ \mathbf{q}_X $ に対しても成り立つことが保証され、分解における一貫性が確保される。
• 本結果は、古典的シュレーディンガー因数分解を多時刻制約に一般化し、境界項および加法的関数の観点から解の経路的構造を提供する。