[論文レビュー] Minimum correlation for any bivariate Geometric distribution

Mark Huber, Nevena Marić|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、パラメータ $p_1$ および $p_2$ を持つ任意の2次元幾何分布における正確な最小相関を導出し、$O(p_1^{-1} \ln(p_1^{-1}) + p_2^{-1} \ln(p_2^{-1}))$ 時間で計算可能であることを示している。最小相関は、特に $p_1 = p_2$ の場合に非単調かつ偏微分で不連続であることを証明し、逆変換サンプリングと反対変数を用いて解析的境界と正確な式を提供している。

ABSTRACT

Consider a bivariate Geometric random variable where the first component has parameter $p_1$ and the second parameter $p_2$. It is not possible to make the correlation between the marginals equal to -1. Here the properties of this minimum correlation are studied both numerically and analytically. It is shown that the minimum correlation can be computed exactly in time $O(p_1^{-1} \ln(p_2^{-1}) + p_2^{-1} \ln(p_1^{-1}))$. The minimum correlation is shown to be nonmonotonic in $p_1$ and $p_2$, moreover, the partial derivatives are not continuous. For $p_1 = p_2$, these discontinuities are characterized completely and shown to lie near (1- roots of 1/2). In addition, we construct analytical bounds on the minimum correlation.

研究の動機と目的

• パラメータ $p_1$ および $p_2$ を持つ2つの独立な幾何確率変数間の理論的最小相関を特定すること。
• 特に $p_1 = p_2$ の場合に顕著な非単調性および不連続性を示す最小相関関数の性質を分析すること。
• 最小相関を $O(p_1^{-1} \ln(p_1^{-1}) + p_2^{-1} \ln(p_2^{-1}))$ 時間で効率的に計算するアルゴリズムを提供すること。
• 最小相関関数の上界および下界を解析的に導出すること。

提案手法

• 最小相関を達成するために、Fréchet-Hoeffdingの上限と逆変換サンプリングに反対変数 $U$ および $1-U$ を用いる。
• 幾何分布のCDFの擬似逆行列を $F_p^{-1}(u) = \sum_{n=1}^\infty \mathbf{1}(1 - (1-p)^n \leq u < 1 - (1-p)^{n+1})$ として定義する。
• 区間 $\alpha_i$ および $\beta_i$ によって定義される単位区間の分割を用いて、期待値積 $\mathbb{E}[F_p^{-1}(U) F_p^{-1}(1-U)]$ を導出する。
• 逆CDFが定数となる区間における和を用いて最小相関を計算し、区間数 $c_i$ に基づく $L_i$ の区分的表現を用いる。
• $\alpha_k$ が $\beta_{k+1}$ および $\beta_{k+2}$ に対する相対的位置に基づき $L_k$ のケースを分類し、3つの異なる解析的表現が得られる。
• 和における再帰的キャンセレーションを用いて $\sum_{i=1}^{k-1} i L_i$ を簡略化し、$q = 1-p$ および $c_i$ 値を含む閉形式に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ $p_1$ および $p_2$ を持つ2つの独立な幾何確率変数間の最小相関の正確な値は何か？
• RQ2 なぜ最小相関は、特に $p_1 = p_2$ の場合に非単調かつ偏微分で不連続なのか？
• RQ3 最小相関は効率的に計算可能か？その計算の時間計算量は何か？
• RQ4 最小相関関数に対してどのような解析的境界を導出できるか？

主な発見

• 最小相関 $\rho_-(p_1, p_2)$ は $O(p_1^{-1} \ln(p_1^{-1}) + p_2^{-1} \ln(p_2^{-1}))$ 時間で正確に計算可能である。
• $p_1 = p_2 = p$ の場合、最小相関は非単調であり、$p = 1 - r$ の近傍で微分が不連続となる。ここで $r$ は $1/2$ の根である。
• $p \geq 1/2$ の場合、最小相関は正確に $p - 1$ であり、これは理論的下限である。
• $[\alpha_k, 1/2]$ 内の $\beta_i$ 値の集合は、空集合、$\{\beta_{k+1}\}$、または $\{\beta_{k+1}, \beta_{k+2}\}$ のいずれかであり、2つを超えることはない。
• 期待値積 $\mathbb{E}[F_p^{-1}(U) F_p^{-1}(1-U)]$ は $iL_i$ の和として表現され、$L_i$ は区間幅と $c_i$ の数に依存し、簡略化された閉形式表現に至る。
• $\alpha_k$ が $\beta_{k+1}$ および $\beta_{k+2}$ に対する相対位置に基づく3つの異なるケースに分類される $L_k$ の区分的表現を用いて、最小相関の解析的境界が構築される。