[論文レビュー] Simulation of multivariate distributions with fixed marginals and correlations

Mark Huber, Nevena Marić|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2013

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、固定された周辺分布と指定された対ごとの相関を持つ多変量確率変数を生成するシミュレーション手法を提案する。この手法は、Fréchet-Hoeffdingの上限・下限にマッピングされる凸性パラメータ λ_ij ∈ [0,1] を活用する。主な貢献は、相関シミュレーションの最悪ケースが対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布であることを証明し、この標準的ケースを用いて、すべての周辺分布タイプに対して普遍的なシミュレーションが可能であることを示したことである。

ABSTRACT

Consider the problem of drawing random variates $(X_1,\ldots,X_n)$ from a distribution where the marginal of each $X_i$ is specified, as well as the correlation between every pair $X_i$ and $X_j$. For given marginals, the Fr\'echet-Hoeffding bounds put a lower and upper bound on the correlation between $X_i$ and $X_j$. Hence any achievable correlation can be uniquely represented by a convexity parameter $\lambda_{ij} \in [0,1]$ where 1 gives the maximum correlation and 0 the minimum correlation. We show that for a given convexity parameter matrix, the worst case is when the marginal distribution are all Bernoulli random variables with parameter 1/2 (fair 0-1 coins). It is worst case in the sense that given a convexity parameter matrix that is obtainable when the marginals are all fair 0-1 coins, it is possible to simulate from any marginals with the same convexity parameter matrix. In addition, we characterize completely the set of convexity parameter matrices for symmetric Bernoulli marginals in two, three and four dimensions.

研究の動機と目的

• 事前に指定された周辺分布と対ごとの相関を持つ多変量分布をシミュレートする課題に対処すること。
• 固定周辺分布下での達成可能な相関構造の集合を同定すること。
• すべての可能な周辺分布タイプの中で、相関の上限・下限の観点から最も困難なシナリオを同定すること。
• 与えられた凸性パラメータ行列に対して、任意の周辺分布のシミュレーションが、対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布下で達成可能であれば可能であることを示すこと。

提案手法

• 各対ごとの相関を、λ_ij ∈ [0,1] である凸性パラメータで表現する。ここで λ_ij = 1 は最大相関、λ_ij = 0 は最小相関を、Fréchet-Hoeffdingの上限・下限に基づいて定義する。
• Fréchet-Hoeffdingの上限・下限が対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布に対して最もきついことを利用し、これが相関シミュレーションの最悪ケースであることを示す。
• まず与えられた λ_ij 行列に従い、対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布下で変数を生成するシミュレーションフレームワークを構築し、次に確率積分変換を用いてそれらを目的の周辺分布に変換する。
• 2次元、3次元、4次元における対称ベルヌーイ周辺分布の下での妥当な凸性パラメータ行列 λ_ij の集合を、幾何的および代数的制約を用いて同定する。
• もし凸性パラメータ行列が対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布に対して妥当であれば、同じ λ_ij 行列を持つ他のすべての周辺分布に対しても妥当であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された相関と周辺分布を持つ多変量分布をシミュレートする際、どの周辺分布が最も困難なケースか？
• RQ2 低次元における対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布に対して、どの凸性パラメータ行列 λ_ij が妥当か？
• RQ3 任意の周辺分布のシミュレーション手法を、対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布を用いた標準的ケースに還元できるか？
• RQ4 Fréchet-Hoeffdingの上限・下限は、一般の周辺分布に対して達成可能な相関構造をどのように制約するか？

主な発見

• 対称ベルヌーイ(1/2)分布は、Fréchet-Hoeffdingの上限・下限が最もきついことから、固定周辺分布と相関を持つ多変量分布のシミュレーションにおいて最悪ケースである。
• 対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布に対して妥当な凸性パラメータ行列 λ_ij は、同じ λ_ij 行列を持つ他のすべての周辺分布に対しても妥当である。
• 2次元、3次元、4次元における対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布の下での妥当な凸性パラメータ行列の集合は、完全に同定されている。
• 固定周辺分布と相関を持つ多変量分布のシミュレーションは、対称ベルヌーイ(1/2)周辺分布下でまずシミュレートし、その後目的の周辺分布に変換することで、普遍的に達成可能である。