[論文レビュー] Minimum Cost Input/Output Design for Large Scale Linear Structural Systems

Sérgio Pequito, Soummya Kar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2014

Advanced Control Systems Optimization参考文献 24被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、コストを最小限に抑えつつ構造的可制御性または可観測性を保証する大規模な線形構造的システムにおける最適な入出力配置を実現する多項式時間アルゴリズムを提示する。問題をコストに配慮したスラック変数を備えた二部グラフにおける最小重み最大マッチングとしてモデル化することで、任意の非一様コスト下でも最小コストのアクチュエータ／センサ配置を効率的に特定可能であり、最適性と計算効率が保証されている。

ABSTRACT

In this paper, we provide optimal solutions to two different (but related) input/output design problems involving large-scale linear dynamical systems, where the cost associated to each directly actuated/measured state variable can take different values, but is independent of the labeled input/output variable. Under these conditions, we first aim to determine and characterize the input/output placement that incurs in the minimum cost while ensuring that the resulting placement achieves structural controllability/observability. Further, we address a constrained variant of the above problem, in which we seek to determine the minimum cost placement configuration, among all possible input/output placement configurations that ensures structural controllability/observability, with the lowest number of directly actuated/measured state variables. We show that both problems can be solved efficiently, i.e., using algorithms with polynomial time complexity in the number of the state variables. Finally, we illustrate the obtained results with an example.

研究の動機と目的

• 任意の非一様コスト下でも、大規模な線形動的システムにおけるアクチュエータおよびセンサの配置場所を効率的かつ最適に選択するためのソリューションを開発すること。
• 各状態変数のコストが異なる場合でも、総配置コストを最小限に抑えながら構造的可制御性または可観測性を保証すること。
• 2つのバリアントに対応する：1つは最小アクチュエータ数を制限するもの、もう1つは純粋なコスト最小化を目的とするもの。
• 電力系統や産業プラントなど、異種成分を有する現実世界のシステムに適用可能な計算効率の高いフレームワークを提供すること。
• 双対性を用いて構造的可観測性へと結果を拡張し、コスト制約下での出力設計を可能とすること。

提案手法

• システムの状態遷移構造に基づいて導出される二部グラフ上で、最小コスト最大マッチング問題として入出力設計問題を定式化する。
• 状態変数のコストと、非トップリンクされた強連結成分（SCC）からの最小コストを組み合わせたエッジ重みを持つスラック変数を導入する。
• コストに配慮した割り当てをモデル化するため、修正された二部グラフ（B(Ā, S); w′）を用い、エッジ重みが関連する駆動コストと関連SCCからの最小コストの和を反映するようにする。
• 最大マッチングアルゴリズムを適用し、右側にマッチングされていない頂点（右未マッチ頂点）を特定する。これらは専用入力を必要とする状態変数を示す。
• 右未マッチ頂点に専用入力を割り当てることで、最小コストで構造的可制御性を確保する最適な入力行列を構築する。
• グラフ理論的手法を用いて、最小コストおよび最小アクチュエータ変数の両方のバリアントが多項式時間で解けることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様駆動コストを有する大規模な線形システムにおいて、構造的可制御性を保証する最小コストの入力構成を特定できるか？
• RQ2 構造的可制御性を維持するとともにコストを最小限に抑えるために、直接駆動される変数の数を最小化する方法は何か？
• RQ3 任意の非一様コスト割り当て下で、最適な入出力配置問題を解く多項式時間アルゴリズムは存在するか？
• RQ4 提案されたフレームワークは双対性を用いて構造的可観測性へと拡張可能か？
• RQ5 現実的なコスト制約下で、これらの入出力設計問題を解く計算複雑度は何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、n個の状態変数に対してO(n^3)の時間で最小コスト入出力設計問題を解くことができ、大規模システムにおいてもスケーラブルである。
• 任意の非一様コスト下でも、最小コストおよび最小アクチュエータ変数の両バリアントに対して、最適性が保証される。
• 実例では、最小アクチュエータ数を維持した場合のコスト60を、より多くの駆動変数を許容することで30に削減した。これはコストに配慮した設計の利点を示している。
• コストに配慮したエッジ重みを持つスラック変数の使用により、アクチュエータ数と総コストのトレードオフを適切にモデル化できる。
• 双対性を用いることで、構造的可観測性への拡張が可能であり、コスト制約下でのセンサ配置についても同様の最適化が可能となる。
• 最小アクチュエータ制約を緩和することで、総コストを顕著に低減できることが示された。これは、単に最小アクチュエータ数を求めるのではなく、コストに配慮した設計の重要性を強調している。