[論文レビュー] Minimum length path decompositions

Dariusz Dereniowski|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、幅が最大 $k$ で長さが最大 $l$ であるパス分解を求める二基準一般化されたパス幅問題を導入する。$k \geq 4$ または $l \geq 2$ の場合にNP完全性を示し、$k \leq 3$ の場合に多項式時間アルゴリズムを提供することで、連結グラフにおけるほぼ完全な複雑性分類が得られる。

ABSTRACT

We consider a bi-criteria generalization of the pathwidth problem, where, for given integers $k,l$ and a graph $G$, we ask whether there exists a path decomposition $\cP$ of $G$ such that the width of $\cP$ is at most $k$ and the number of bags in $\cP$, i.e., the \emph{length} of $\cP$, is at most $l$. We provide a complete complexity classification of the problem in terms of $k$ and $l$ for general graphs. Contrary to the original pathwidth problem, which is fixed-parameter tractable with respect to $k$, we prove that the generalized problem is NP-complete for any fixed $k\geq 4$, and is also NP-complete for any fixed $l\geq 2$. On the other hand, we give a polynomial-time algorithm that, for any (possibly disconnected) graph $G$ and integers $k\leq 3$ and $l>0$, constructs a path decomposition of width at most $k$ and length at most $l$, if any exists. As a by-product, we obtain an almost complete classification of the problem in terms of $k$ and $l$ for connected graphs. Namely, the problem is NP-complete for any fixed $k\geq 5$ and it is polynomial-time for any $k\leq 3$. This leaves open the case $k=4$ for connected graphs.

研究の動機と目的

• 一般および連結グラフにおける幅 $k$ と長さ $l$ が有界なパス分解を求める問題の計算複雑性を調査すること。
• $k$ と $l$ のどの値の組み合わせで問題が tractable または intractable であるかを特定すること。
• $k$ と $l$ の観点から二基準パス分解問題の完全な複雑性分類を提供すること。
• $k \leq 3$ かつ任意の $l > 0$ のグラフに対して効率的なアルゴリズムを開発すること。
• 連結グラフにおける問題の複雑性状態を解明し、残りの未解決事項は $k=4$ のみに集約すること。

提案手法

• 著者たちは、パス幅と分解長の両方を最小化する二基準最適化問題として問題を分析する。
• 既知のNP困難問題からの帰着を用いて、任意の固定された $k \geq 4$ に対してNP完全性を証明する。
• パス幅問題の変種からの帰着を用いて、任意の固定された $l \geq 2$ に対してもNP完全性を確立する。
• $k \leq 3$ の場合、幅 $\leq k$ かつ長さ $\leq l$ の有効なパス分解を多項式時間で構築できる動的計画法に基づくアルゴリズムを設計する。
• このアルゴリズムは連結および非連結グラフを扱い、小パス幅を持つグラフの構造的性質に依存する。
• ケース解析と構造的グラフ理論を用いて、連結グラフにおける残りの未解決事項（$k=4$）を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 幅 $\leq k$ かつ長さ $\leq l$ のパス分解を求める問題が計算的に tractable となる $k$ と $l$ の値の組み合わせは何か？
• RQ2 固定された $k \geq 4$ の場合に、二基準パス分解問題はNP完全か？
• RQ3 固定された $l \geq 2$ の場合に、問題はNP完全か？
• RQ4 $k \leq 3$ かつ任意の $l > 0$ のグラフに対して多項式時間アルゴリズムを構築可能か？
• RQ5 連結グラフにおいて $k = 4$ の場合、問題の複雑性状態は何か？

主な発見

• 二基準パス分解問題は、任意の固定された $k \geq 4$ に対して、$l$ が制限されない場合でもNP完全である。
• 任意の固定された $l \geq 2$ に対しても、$k$ にかかわらず問題はNP完全である。
• $k \leq 3$ かつ任意の $l > 0$ の場合、幅 $\leq k$ かつ長さ $\leq l$ のパス分解を構築する多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 連結グラフにおいては、$k \geq 5$ の場合に問題はNP完全であり、$k \leq 3$ の場合に多項式時間で解ける。
• 連結グラフにおける唯一の未解決事項は $k = 4$ であり、その複雑性は未解決のまま残っている。
• これらの結果により、$k$ と $l$ の観点から問題のほぼ完全な分類が得られ、連結グラフにおいては $k=4$ のみが未解決のまま残っている。