[論文レビュー] On the Parameterized Complexity of Approximating Dominating Set

C. S. Karthik, Bundit Laekhanukit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、通信複雑性技術を用いて、k-支配集合問題に対するタイトなパrameterized近似不可能性の境界を確立する。標準的な複雑性仮定（W[1] ≠ FPT、ETH、SETH、k-Sum仮説）の下で、k-DomSetに対してF(k)-FPT近似アルゴリズムが特定の時間制約内に存在しないことが示され、パrameterized設定における効率的近似の強力な限界を確立する。

ABSTRACT

We study the parameterized complexity of approximating the $k$-Dominating Set (DomSet) problem where an integer $k$ and a graph $G$ on $n$ vertices are given as input, and the goal is to find a dominating set of size at most $F(k) \cdot k$ whenever the graph $G$ has a dominating set of size $k$. When such an algorithm runs in time $T(k) \cdot poly(n)$ (i.e., FPT-time) for some computable function $T$, it is said to be an $F(k)$-FPT-approximation algorithm for $k$-DomSet. We prove the following for every computable functions $T, F$ and every constant $\varepsilon > 0$: $\bullet$ Assuming $W[1] eq FPT$, there is no $F(k)$-FPT-approximation algorithm for $k$-DomSet. $\bullet$ Assuming the Exponential Time Hypothesis (ETH), there is no $F(k)$-approximation algorithm for $k$-DomSet that runs in $T(k) \cdot n^{o(k)}$ time. $\bullet$ Assuming the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), for every integer $k \geq 2$, there is no $F(k)$-approximation algorithm for $k$-DomSet that runs in $T(k) \cdot n^{k - \varepsilon}$ time. $\bullet$ Assuming the $k$-Sum Hypothesis, for every integer $k \geq 3$, there is no $F(k)$-approximation algorithm for $k$-DomSet that runs in $T(k) \cdot n^{\lceil k/2 ceil - \varepsilon}$ time. Our results are obtained by establishing a connection between communication complexity and hardness of approximation, generalizing the ideas from a recent breakthrough work of Abboud et al. [FOCS 2017]. Specifically, we show that to prove hardness of approximation of a certain parameterized variant of the label cover problem, it suffices to devise a specific protocol for a communication problem that depends on which hypothesis we rely on. Each of these communication problems turns out to be either a well studied problem or a variant of one; this allows us to easily apply known techniques to solve them.

研究の動機と目的

• k-支配集合問題における効率的パrameterized近似の限界を理解すること。
• W[1] ≠ FPT、ETH、SETH、およびk-Sum仮説などの標準的複雑性仮説の下での近似困難性を確立すること。
• 支配集合の変種における通信複雑性とパrameterized近似不可能性を結びつける一般化された枠組みを構築すること。
• これらの仮定の下で、指定された時間制約内にF(k)-FPT近似アルゴリズムが存在しないことを証明すること。
• 最近の通信複雑性の進展を拡張し、パrameterized問題におけるタイトな近似不可能性結果を導出すること。

提案手法

• k-支配集合の近似困難性を、関連する問題に対する特定の通信プロトコルの存在に還元する。
• W[1]≠FPT、ETH、SETH、k-Sum仮説ごとに特化したプロトコルを構築することで、既知の通信複雑性技術を活用する。
• 還元の中心的なハードネスの基盤として、パrameterized版のラベルカバー問題を用いる。
• Abboudら（FOCS 2017）のフレームワークを適用し、通信複雑性の下界をパrameterized複雑性における近似不可能性に結びつける。
• 各仮説が、F(k)-FPT近似アルゴリズムの存在に異なる時間制約をもたらすことを確立する。
• 通信複雑性の下界を、F(k)-FPT近似アルゴリズムの時間複雑性下界に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なパrameterized複雑性仮説の下で、k-支配集合問題に対する強い近似不可能性結果を証明できるか？
• RQ2 F(k)-FPT近似アルゴリズムが存在できない、最もタイトな時間制約は何か？
• RQ3 通信複雑性は、パrameterized複雑性における近似不可能性結果を導出するためにどのように利用できるか？
• RQ4 ETH、SETH、およびk-Sum仮説は、k-DomSetのF(k)-FPT近似アルゴリズムの効率性をどの程度制限するか？
• RQ5 通信複雑性の下界をパrameterizedアルゴリズムにおける近似不可能性結果に移行する一般化された手法は存在するか？

主な発見

• W[1] ≠ FPTを仮定すると、k-支配集合問題に対してF(k)-FPT近似アルゴリズムは存在しない。
• 指数時間仮説（ETH）を仮定すると、k-DomSetに対してF(k)-近似アルゴリズムはT(k) · n^{o(k)}時間で実行できない。
• 強力な指数時間仮説（SETH）を仮定すると、任意のk ≥ 2に対して、k-DomSetに対してF(k)-近似アルゴリズムはT(k) · n^{k - ε}時間で実行できない（任意のε > 0）。
• k-Sum仮説を仮定すると、任意のk ≥ 3に対して、k-DomSetに対してF(k)-近似アルゴリズムはT(k) · n^{⌈k/2⌉ - ε}時間で実行できない（任意のε > 0）。
• このフレームワークは、通信複雑性の下界をパrameterized問題におけるタイトな近似不可能性結果に効果的に翻訳する。
• 結果として、k-DomSetの既知のFPT近似アルゴリズムは、標準的な複雑性仮説の下では本質的に最適であることが確立された。