[論文レビュー] Sum-of-squares proofs and the quest toward optimal algorithms

Boaz Barak, David Steurer|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 47被引用数 96

ひとこと要約

この論文は、一様なフレームワークとしてのSum-of-Squares (SOS)階層が、Unique Games予想 (UGC) およびSmall-Set Expansion Hypothesis (SSEH) とどのように関連するかを調査している。定数次元のSOS証明が、UGC/SSEHの困難なインスタンスの根拠となる主要な不等式を証明可能であることを示しており、これら問題がかつて考えられていたほど難しいものでない可能性を示唆し、より強い次数バウンドが達成された場合、これらの予想を反証する可能性がある。

ABSTRACT

In order to obtain the best-known guarantees, algorithms are traditionally tailored to the particular problem we want to solve. Two recent developments, the Unique Games Conjecture (UGC) and the Sum-of-Squares (SOS) method, surprisingly suggest that this tailoring is not necessary and that a single efficient algorithm could achieve best possible guarantees for a wide range of different problems. The Unique Games Conjecture (UGC) is a tantalizing conjecture in computational complexity, which, if true, will shed light on the complexity of a great many problems. In particular this conjecture predicts that a single concrete algorithm provides optimal guarantees among all efficient algorithms for a large class of computational problems. The Sum-of-Squares (SOS) method is a general approach for solving systems of polynomial constraints. This approach is studied in several scientific disciplines, including real algebraic geometry, proof complexity, control theory, and mathematical programming, and has found applications in fields as diverse as quantum information theory, formal verification, game theory and many others. We survey some connections that were recently uncovered between the Unique Games Conjecture and the Sum-of-Squares method. In particular, we discuss new tools to rigorously bound the running time of the SOS method for obtaining approximate solutions to hard optimization problems, and how these tools give the potential for the sum-of-squares method to provide new guarantees for many problems of interest, and possibly to even refute the UGC.

研究の動機と目的

• 幅広い計算問題に対して最適な近似保証を提供できるかどうかを、Sum-of-Squares (SOS) 法が検討できるか。
• SOS法とUnique Games予想 (UGC) の関係、特にアルゴリズムの性能と近似の困難さの観点から検討すること。
• 定数次元のSOS証明が、既知の困難なインスタンスを解くことで、UGC や SSEH を反証できるかどうかを特定すること。
• 最適化において生じる多項式不等式を証明するために必要なSOS証明の次数を制限するためのツールを開発すること。
• SOS法が、グラフ拡張や独立集合の問題において、既存のアルゴリズムよりも優れた近似保証を達成できるかどうかを評価すること。

提案手法

• SOS法を用いて、グラフ拡張や独立集合のような最適化問題で生じる多項式不等式を体系的に分析・証明する。
• SOS証明の次数に、次数および次元に基づくバウンドを適用し、スパースなベクトルを含まない部分空間に対しては低次のSOS証明が存在することを活用する。
• Bonami-Beckner-Grossの超合同性定理（式6の形）を、特定の部分空間がスパースなベクトルを含まないことを証明するコアな要素として用いる。
• 部分空間Wが、すべてのx ∈ W_kに対してE[x_i^4] ≤ 9^k (E[x_i^2])^2 を満たす場合、定数次元のSOS証明が存在することを示し、これによりスパースなベクトルに対してロバストであることを示す。
• SOS次数バウンドを用いて実行時間の保証を導出する：小集合拡張を区別する場合、SOSはε → 0のときτ → 0となるexp(O(n^τ))の時間で処理可能である。
• SOS証明次数が、Unique Games やSmall-Set Expansionのような問題の複雑さに与える影響を分析し、定数次元のSOSが既知の困難なインスタンスを解けることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Unique Games予想が示唆するように、Sum-of-Squares法が広範な問題クラスに対して最適な近似保証を提供できるか。
• RQ2 既知の困難なインスタンスが、定数次元のSOS証明によって実際に解けるか。
• RQ3 スパースなベクトルを含まない部分空間を証明するために必要なSOS次数の最小値は何か。また、これは計算複雑性とどのように関係するか。
• RQ4 SOS法が、低次の証明で既知の困難なインスタンスを解くことで、Small-Set Expansion Hypothesisを反証できるか。
• RQ5 独立集合や拡張の問題における、既存の困難性の結果が、SOSに基づくアルゴリズムによって無効化される可能性がある仮定に依存している程度はどの程度か。

主な発見

• 定数次元のSOS証明が、UGCやSSEHの多くの既知の困難なインスタンスの根拠となるBonami-Beckner-Grossの超合同性不等式を証明可能である。
• 主要な不等式に対する定数次元SOS証明の存在は、これらの困難なインスタンスがかつて考えられていたほど難しいものでない可能性を示し、UGCやSSEHの妥当性に疑問を呈する。
• 小集合拡張問題に関して、SOS法はε → 0のときτ → 0となる時間exp(O(n^τ))で、拡張率≤εと≥1−εのグラフを区別できる。これは、ブルートフォースな列挙に比べて顕著な改善である。
• 補題5.3におけるSOS次数バウンドが、d（次元）に依存しない形に改善された場合、Small-Set Expansion Hypothesisは反証されることになる。
• 本論文は、特定の困難なインスタンスに基づくUGC/SSEHのすべての既知の困難性結果が、定数次元SOS証明によって反証可能であることを示しており、SOSアルゴリズムに対してはもはや既知の困難なインスタンスが残っていない可能性を示唆している。
• SOS法は、UGCが示唆するように、個々の問題に特化させることなく、広範な近似アルゴリズムを統合し、最適な保証を達成する可能性を秘めている。