[論文レビュー] Mirror symmetry for P^2 and tropical geometry

Mark Gross|ArXiv.org|Mar 8, 2009

Polynomial and algebraic computation参考文献 14被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、マスロフ指数2の正則ディスクとランダウ＝ジンブルグ汎関数の項との間の幾何的対応を用いて、$\mathbb{P}^2$ におけるミラー対称性が、トロピカル $\mathbb{P}^2$ におけるトロピカルな種数0曲線の数え上げと本質的に同値であることを確立する。主な貢献は、散乱図と周期積分の評価を用いた概念的でトロピカルなミラー対称性の証明であり、オシレーター的積分によるBモデルのフロベニウス多様体構造が、トロピカル不変量を通じたAモデルの曲線数え上げと一致することを示している。

ABSTRACT

This paper explores the relationship between mirror symmetry for P^2, at the level of big quantum cohomology, and tropical geometry. The mirror of P^2 is typically taken to be ((C^*)^2,W), where W is a Landau-Ginzburg potential of the form x+y+1/xy. The complex moduli space of the mirror is the universal unfolding of W, and oscillatory integrals produce a Frobenius manifold structure on this universal unfolding. We show that W can be deformed by counting Maslov index two tropical disks, and the natural paramaters appearing in this deformation are then the flat coordinates on the moduli space. Furthermore, the oscillatory integrals are shown to read off directly tropical curve counts from the potential. Thus we show in fact that mirror symmetry for P^2 is equivalent in a strong sense to tropical curve counting formulas, including tropical formulas for gravitational descendent invariants.

研究の動機と目的

• Aモデル（シンプレクティック）とBモデル（複素）の両側をモデル化する、特異点をもつ整数的アフィン多様体を中心幾何的対象として用い、$\mathbb{P}^2$ における概念的でトロピカル幾何的証明を確立すること。
• 鏡の $(\mathbb{C}^\times)^2$ 上のランダウ＝ジンブルグ汎関数が、マスロフ指数2のディスクからのトロピカルデータを用いて自然に変形可能であることを示すこと。
• 散乱図構成を用いて、Aモデルのトロピカルの後続不変量とBモデルの周期積分の間の正確な対応を示すこと。
• $\mathbb{P}^2$ を基本的事例として、他のトーリック多様体へのトロピカル曲線と量子コホモロジーの対応の一般化を試みること。

提案手法

• 整数的アフィン多様体（特異点を有する）を中心幾何的対象として用い、Aモデル（シンプレクティック）とBモデル（複素）の両側をモデル化する。
• 散乱図をアフィン多様体上に構成し、カルラ・ヤウ多様体の退化を符号化する。壁はトロピカル曲線に対応する。
• 頂点におけるマスロフ指数2のディスクの貼り合わせにより、トロピカルの後続不変量を計算する。重みはグラフ構造からの組合せ的データによって決定される。
• 指定された点を通過するマスロフ指数2のディスクの族に対応する項を加えることで、ランダウ＝ジンブルグ汎関数を変形する。この変形手順は自然である。
• Bモデル側の周期積分はオシレーター的積分を用いて評価され、方程式系 (5.2)–(5.4) を通じてトロピカル不変量の母関数と一致することが示される。
• 重要な技術的道具は、$L_{P,j}$ への異なるディスク配置からの寄与の評価であり、これが定義3.4のトロピカル不変量と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{P}^2$ におけるミラー対称性は、従来のグロモフ＝ウィッテン理論ではなく、トロピカル幾何を用いて証明可能か？
• RQ2 マスロフ指数2の正則ディスクと鏡の $(\mathbb{C}^\times)^2$ 上のランダウ＝ジンブルグ汎関数の項との間に直接的な対応があるか？
• RQ3 Aモデル側のトロピカルの後続不変量とBモデル側の周期積分の間の一致はどのように実現されるか？
• RQ4 トロピカル曲線の数え上げを用いて、ランダウ＝ジンブルグ汎関数の自然な変形を明示的に構成可能か？
• RQ5 アフィン多様体上の散乱図構成が、Aモデルの曲線数え上げとBモデルの周期積分を統一的に符号化できるか？

主な発見

• 本稿では、$\mathbb{P}^2$ における種数0のトロピカルの後続不変量の母関数が、オシレーター的積分を用いたBモデルのフロベニウス多様体の周期積分と一致することを証明している。
• $L_{P,j}$ への、$\nu$ 個のマーク付き頂点と $d$-次数を持つトロピカル曲線からの寄与が、トロピカル不変量における項 $u_{I(h)}q^{\nu'}$ と一致することを確認した。
• 汎関数における定数項 $q^{-1}$ は、$\nu=0$ の唯一の配置に由来し、マーク付き点のないマスロフ指数2のディスクに対応する。
• 周期積分のオシレーター的積分による評価が、方程式系 (5.2)–(5.4) を通じてトロピカル数え上げと同値であることが示され、ディスク寄与に関する補題を用いて証明された。
• 散乱図構成は、ランダウ＝ジンブルグ汎関数の変形を正しく符号化しており、壁を越えるデータがトロピカル曲線の数え上げと一致する。
• 結果は $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ のような他のトーリック多様体へ一般化可能であるが、一般のトーリック表面では、非可約成分がトーリック境界へ写像されるため、現在のトロピカル幾何ではこれをカバーできない。