[論文レビュー] Mitigating Coherent Noise by Balancing Weight-2 $Z$-Stabilizers

Jingzhen Hu, Qingzhong Liang+2 more|UA Campus Repository (The University of Arizona)|Oct 31, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、符号空間上でトランスバーサルZ回転が自明に働くようにすることによって、量子誤り訂正符号におけるコherentノイズの受動的緩和戦略を提案する。符号がコherentノイズに対して無関心である（特にトランスバーサルZ回転に対して）ための必要十分条件は、重み2のZ-安定化子が偶数長の単一パリティ検査符号の直積を形成することである。これにより、[[4L²,1,2L]]ショア符号のような定数励起符号が構成可能となり、コherentノイズの蓄積に対して本質的に耐性を持つ。

ABSTRACT

Physical platforms such as trapped ions suffer from coherent noise where errors manifest as rotations about a particular axis and can accumulate over time. We investigate passive mitigation through decoherence free subspaces, requiring the noise to preserve the code space of a stabilizer code, and to act as the logical identity operator on the protected information. Thus, we develop necessary and sufficient conditions for all transversal $Z$-rotations to preserve the code space of a stabilizer code, which require the weight-$2$ $Z$-stabilizers to cover all the qubits that are in the support of some $X$-component. Further, the weight-$2$ $Z$-stabilizers generate a direct product of single-parity-check codes with even block length. By adjusting the size of these components, we are able to construct a large family of QECC codes, oblivious to coherent noise, that includes the $[[4L^2, 1, 2L]]$ Shor codes. Moreover, given $M$ even and any $[[n,k,d]]$ stabilizer code, we can construct an $[[Mn, k, \ge d]]$ stabilizer code that is oblivious to coherent noise. If we require that transversal $Z$-rotations preserve the code space only up to some finite level $l$ in the Clifford hierarchy, then we can construct higher level gates necessary for universal quantum computation. The $Z$-stabilizers supported on each non-zero $X$-component form a classical binary code C, which is required to contain a self-dual code, and the classical Gleason's theorem constrains its weight enumerator. The conditions for a stabilizer code being preserved by transversal $2π/2^l$ $Z$-rotations at $4 \le l \le l_{\max} <\infty$ level in the Clifford hierarchy lead to generalizations of Gleason's theorem that may be of independent interest to classical coding theorists.

研究の動機と目的

• トランスバーサルZ回転が安定化子符号の符号空間を保存する条件を特定すること。
• アクティブな誤り訂正を用いずに、コherentノイズの受動的誤り緩和戦略を開発すること。
• すべてのトランスバーサルZ回転に対して不変である安定化子符号を特徴づけること。これにより論理的恒等作用が保証される。
• 古典的符号理論を用いて、コherentノイズに対して無関心な符号の構造的特徴づけを確立すること。
• コherentZ回転に対して本質的に耐性を持つ、大規模な量子誤り訂正符号（QECC）の族を構築すること。

提案手法

• 三角関数的制約とMacWilliams恒等式を用いて、トランスバーサルZ回転が符号空間を保存するための必要十分条件を導出する。
• 重み2のZ-安定化子が、任意のX-安定化子成分のサポートに含まれるすべての量子ビットをカバーする必要があること。
• 偶数長の単一パリティ検査符号からなる積符号を構築することで、コherence耐性を達成する。
• 有限なlに対して角度π/2^lのZ回転に対して符号が保存される状況を記述するために、生成子係数フレームワークを用いる。
• 特にMacWilliams恒等式を用いて、重み列挙子と三角関数和を分析する古典的符号理論の道具を適用する。
• CSS符号がコherentノイズに対して無関心であることは、それが定数励起符号であることと同値であることを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トランスバーサルZ回転が安定化子符号の論理状態に対して自明に働くための条件は何か？
• RQ2 トランスバーサルZ回転によるコherentノイズに対して本質的に頑健な安定化子符号をどのように構築できるか？
• RQ3 すべてのトランスバーサルZ回転に対して不変であるためには、安定化子符号がどのような構造的性質を備えている必要があるか？
• RQ4 古典的符号構造の観点から、コherentノイズに対して無関心な安定化子符号を特徴づけることは可能か？
• RQ5 すべてのZ回転に対する不変性の要件を緩和しても、依然として効果的なノイズ緩和が達成可能か？

主な発見

• 安定化子符号がコherentノイズに対して無関心であることは、それが定数励起符号であることと同値である。定数励起符号では、論理状態がすべての計算基底状態の重みが等しい重ね合わせで表される。
• トランスバーサルZ回転に対して不変であるための必要十分条件は、重み2のZ-安定化子が偶数長の単一パリティ検査符号の直積を生成することである。
• この構成により、[[4L²,1,2L]]ショア符号を含む符号族が得られ、コherentZ回転に対して頑健である。
• 誤り検出符号の場合、X-安定化子の異なるコセットにおける重みは同一であり、これは重要な構造的制約である。
• コherence耐性を達成するための最小リソースコストは、物理的量子ビット数を2倍（スケーリング2）することである。これは積符号構成によって示された。
• 論文は、符号がすべてのトランスバーサルZ回転（角度π/2^l、l ≥ 2）に対して不変であるならば、論理的作用は自明であることを証明している。この性質は、より小さいlに対しても合成により拡張可能である。