[論文レビュー] Mittag-Leffler Waiting Time, Power Laws,Rarefaction, Continuous Time Random Walk, Diffusion Limit

Rudolf Gorenflo|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 42被引用数 26

ひとこと要約

本稿は、時間スケーリングを用いて連続時間ランダムウォーク（CTRW）におけるパワー則待ち時間とミタグ・レフラー待ち時間分布の漸近的同等性を確立し、空間時間フラクタル拡散を拡散極限として導出する。主な貢献は、空間時間フラクタル拡散のサブオーディネートとして時間フラクタルドリフト過程が導出されることであり、ミタグ・レフラー関数が長時間行動と異常拡散スケーリングを支配する。

ABSTRACT

We discuss some applications of the Mittag-Leffler function and related probability distributions in the theory of renewal processes and continuous time random walks. In particular we show the asymptotic (long time) equivalence of a generic power law waiting time to the Mittag-Leffler waiting time distribution via rescaling and respeeding the clock of time. By a second respeeding (by rescaling the spatial variable) we obtain the diffusion limit of the continuous time random walk under power law regimes in time and in space. Finally, we exhibit the time-fractional drift process as a diffusion limit of the fractional Poisson process and as a subordinator for space-time fractional diffusion.

研究の動機と目的

• 再生過程におけるパワー則待ち時間とミタグ・レフラー待ち時間分布の間の漸近的同等性を確立すること。
• 時間と空間の両方でパワー則スケーリングを行う連続時間ランダムウォーク（CTRW）の拡散極限を導出すること。
• ミタグ・レフラー関数がスケーリング下での再生過程およびCTRWの長時間行動を支配することを示すこと。
• 時間フラクタルドリフト過程が空間時間フラクタル拡散のサブオーディネートとして出現することを示すこと。
• ラプラス変換およびフーリエ変換を用いて、ミタグ・レフラー関数がフラクタル拡散およびサブオーディネートにおける役割を明確にすること。

提案手法

• 0 < \beta \neq 1 に対して、生存確率としてミタグ・レフラー関数 $ E_{\beta}(-t^\beta) $ を用い、待ち時間密度として $ \rho_{\beta}^{ML}(t) = t^{\beta-1} E_{\beta,\beta}(-t^\beta) $ を使用する。
• 時間スケーリングと再速度化を適用して、パワー則待ち時間をミタグ・レフラー待ち時間分布に変換する。
• 空間スケーリングを用いて、適切にスケーリングされた拡散極限を達成し、空間時間フラクタル拡散方程式に至る。
• 長時間行動を分析するためにラプラス変換 $ \widetilde{\Psi}_{\beta}^{ML}(s) = \frac{s^{\beta-1}}{s^{\beta}+1} $、$ \widetilde{\phi}_{\beta}^{ML}(s) = \frac{1}{s^{\beta}+1} $ を用いる。
• サブオーダレーション公式 $ u(x,t) = \int_0^\infty f_{\alpha}(x,r) q_0(r,t) \, dr $ を導出する。ここで $ q_0(r,t) $ はミタグ・レフラー過程の密度関数である。
• 物理的時間 $ t $ と操作的時間 $ t_* $ の逆関係を確立し、$ q_0(r,t) $ が $ \widetilde{q}_0(s) = E_{\beta}(-s t^{\beta}) $ を介して進化することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間スケーリングを用いて、パワー則待ち時間がどのように漸近的にミタグ・レフラー待ち時間分布と同等になるか？
• RQ2 時間と空間の両方でパワー則スケーリングが適用されたCTRWの拡散極限は何か？
• RQ3 ミタグ・レフラー関数は、再生過程およびCTRWの長時間行動にどのように現れるか？
• RQ4 ミタグ・レフラー過程が空間時間フラクタル拡散におけるサブオーダレーションとして果たす役割は何か？
• RQ5 時間フラクタルドリフト過程は、フラクタルポアソン過程および空間時間フラクタル拡散とどのように関係しているか？

主な発見

• ミタグ・レフラー待ち時間密度 $ \phi_{\beta}^{ML}(t) \sim \frac{\Gamma(\beta+1)\sin(\beta\pi)}{\pi} t^{-\beta-1} $ は、$ t $ が大きい場合にパワー則の減衰を示し、$ \beta=1 $ の場合の指数的減衰とは対照的である。
• 生存確率 $ \Psi_{\beta}^{ML}(t) = E_{\beta}(-t^{\beta}) \sim \frac{t^{-\beta}}{\Gamma(1-\beta)} $（$ t \to \infty $）であり、長記憶性と異常拡散行動を確認する。
• ミタグ・レフラー待ち時間密度のラプラス変換は $ \widetilde{\phi}_{\beta}^{ML}(s) = \frac{1}{s^{\beta}+1} $ であり、時間のフラクタル微分と関連する。
• パワー則スケーリング下でのCTRWの拡散極限は、ミタグ・レフラー関数が時間発展を支配する空間時間フラクタル拡散方程式を導く。
• 時間フラクタルドリフト過程は、空間時間フラクタル拡散のサブオーダレーションとして導出され、操作的時間 $ t_* $ は物理的時間 $ t $ と $ t_* = t_*^{(\beta)}(t) $ を満たす。$ 0 < \beta < 1 $ の場合、非マルコフ的かつ無限可除でない。
• $ \beta \to 1 $ の極限では、ミタグ・レフラー過程は恒等写像 $ t_* = t $ に還元され、標準のポアソン過程および古典的拡散が回復される。