[論文レビュー] Mixed Determinants and the Kadison-Singer problem

Jonathan Leake, Mohan Ravichandran|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、マーカス、スピルマン、スリヴァスターヴァの間隔多項式法を、カジソン＝シュナイダー問題のアンドリュースのパビング定式化に適用し、混合行列式を用いてより良いパビング推定値を導出する。任意の対角成分が 1/2 の射影行列が非自明に 4-パビング可能であることを証明しており、以前の 12 の境界を大幅に改善する。また、対角成分が 1/4 より小さい行列が 2-パビング可能であることも示しており、最近の結果と一致する。

ABSTRACT

We adapt the arguments of Marcus, Spielman and Srivastava in their proof of the Kadison-Singer problem to prove improved paving estimates. Working with Anderson's paving formulation of Kadison-Singer instead of Weaver's vector balancing version, we show that the machinery of interlacing polyomials due to Marcus, Spielman and Srivastava works in this setting as well. The relevant expected characteristic polynomials turn out to be related to the so called "mixed determinants" that have been carefully studied by Borcea and Branden. This technique allows us to show that any projection with diagonal entries strictly less than $\frac{1}{4}$ can be two paved, matching recent results of Bownik, Casazza, Marcus and Speegle, though our estimates are asymptotically weaker. We also show that any projection with diagonal entries at most $\frac{1}{2}$ can be four paved, yielding improvements over currently known estimates. We also relate the problem of finding optimal paving estimates to bounding the root intervals of a natural one parameter deformation of the characteristic polynomial of a matrix that turns out to have some remarkable combinatorial properties.

研究の動機と目的

• マーカス、スピルマン、スリヴァスターヴァの間隔多項式法を、カジソン＝シュナイダ一問題のアンドリュースのパビング定式化に拡張すること。
• 有界な対角成分を持つ正定値自己共役収縮行列に対するより緊密なパビング境界を導出すること。
• 対角成分が 1/2 の射影行列が非自明に 4-パビング可能であることを確立すること。これは、元の MSS 結果からの以前の推定値 12 よりも向上する。
• 任意の PSD 収縮行列が対角成分 ≤1/4 であれば 2-パビング可能であることを示すこと。これは、ボウキング他による最近の結果と一致する。

提案手法

• ウェーバーのベクトルバランス版ではなく、アンドリュースのパビング定式化に適応した間隔多項式フレームワークを用いる。
• 事前にボルチェアとブランデンによって研究済みの混合行列式を、パビング解析における期待固有多項式として用いる。
• 一パラメータ変形された固有多項式の根を制限するためにバリア関数技術を適用する。
• r-固有多項式から生じる多アフィン実安定多項式に対する一般化された根シフト境界を導出する。
• 多アフィン多項式の対称加法的畳み込みが実安定性を保ち、根の境界を可能にする。
• r-パビングにおける期待固有多項式が混合行列式構成に対応することに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 間隔多項式法は、ウェーバーのバージョンではなく、アンドリュースのパビング定式化に成功裏に適用可能か？
• RQ2 対角成分が 1/2 の射影行列に対する最適なパビング境界は何か？ 12-パビング推定値を超えて改善可能か？
• RQ3 混合行列式とバリア関数の道具立ては、小さな対角成分を持つ行列の 2-パビングに対してより緊密な境界をもたらすか？
• RQ4 対称加法的畳み込みに対する多変数根シフト境界は、パビング設定における r-固有多項式に対しても成り立つか？
• RQ5 r-固有多項式は、MSS 法をより広いクラスの実安定多項式へ一般化する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 対角成分がすべて 1/2 の任意の射影行列は、非自明に 4-パビング可能であり、元の MSS 結果からの以前の境界値 12 よりも向上する。
• 任意の r ≥ 2 および α ≤ (r−1)²/r² に対して、対角成分 ≤ α の任意の PSD 収縮行列は、ブロックノルムが ( √(1/r − α/(r−1)) + √α )² に有界な r-パビングを許容する。
• α < (r−1)²/r² のとき、この境界は 1 よりも厳密に小さいため、非自明なパビングが保証される。
• この結果は、α < 1/4 の場合にボウキング、カザッサ、マーカス、スプリーグルの 2-パビング境界と一致し、最近の進展と整合性を確認する。
• r-パビング設定における期待固有多項式が混合行列式であることが示され、ボルチェアとブランデンの先行研究と結びつく。
• 根の区間がパビング推定値の最適化に鍵を握る自然な一パラメータ変形された固有多項式が同定された。