[論文レビュー] Mixed $\ell$-adic complexes for schemes over number fields

Sophie Morel|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体上のスキームにおける混合 $\pi$-アーベル層の重みフィルトレーションの欠如を解決し、重みフィルトレーションを許容する perverse 層の導来圏を構成する。デリーニの重み・モノドロミー定理とクロスファンクター形式論を用いて、この圏上で完全な六種類の操作（テンソル積および内部Homを含む）を確立し、ベイリンソンの中間拡大公式を任意の有限生成体へ一般化する。

ABSTRACT

If $X$ is a variety over a number field, Annette Huber has defined a category of "horizontal" (or "almost everywhere unramified") $\ell$-adic complexes and $\ell$-adic perverse sheaves on $X$. For such objects, the notion of weights makes sense (in the sense of Deligne), just as in the case of varieties over finite fields. However, contrary to what happens in that last case, mixed perverse sheaves (or mixed locally constant sheaves) on $X$ do not have a weight filtration in general, even when $X$ is a point. The goal of this paper is to show how to avoid this problem by working directly in the derived category of the abelian category of perverse sheaves that do admit a weight filtration. As an application, the methods of a previous paper of the author to calculate the intermediate extension of a pure perverse sheaf apply over any finitely generated field, and not just over a finite field.

研究の動機と目的

• 数体上のスキームにおける混合 perverse 層が、たとえ一点に対しても重みフィルトレーションを許容しないという問題を解決すること。
• 六種類の操作に関して閉じており、重みフィルトレーションを許容する perverse 層の圏を構成すること。
• ベイリンソンの中間拡大公式を有限体から任意の有限生成体へ一般化すること。
• デリーニの重み・モノドロミー定理を用いて、重みと整合する層操作の形式的枠組みを確立すること。
• 安定 t-構造と Ext の消滅を用いて、有限体からの結果を数体へ拡張するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 重みフィルトレーションを許容する水平な混合 perverse 層の全なアーベル部分圏 $\operatorname{Perv}_{mf}(X)$ を $X$ 上で定義する。
• デリーニの重み・モノドロミー定理を用いて、perverse 直接像が $\operatorname{Perv}_{mf}(X)$ を保存することを証明し、主要な操作に関して安定性を保証する。
• デリーニ、ヴォエヴォズキー、アイーユーのインスピレーションを受けて、クロスファンクター形式論を用いて、層操作の整合性を体系的に取り扱う。
• $D^b\operatorname{Perv}_{mf}(X)$ 上で、perverse 層レベルの構成を用いて四種類の操作（$f^*, f_*, f_!, f^{!}$）およびテンソル積／内部Homを構成する。
• ${}^w\!D^{\leq a}(X)$ と ${}^w\!D^{\geq a+1}(X)$ が $D^b\operatorname{Perv}_{mf}(X)$ 上で t-構造をなすことを証明し、重みフィルトレーションを導来圏へ一般化する。
• Ext 群の Yoneda 述語を用いて、$K$ が重み $\leq a$、$L$ が重み $\geq a+1$ のとき $\operatorname{Ext}^i(K,L) = 0$ であることを示し、重み成分の直交性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体上のスキームにおける重みフィルトレーションを許容する perverse 層の導来圏上で、六種類の操作を定義できるか？
• RQ2 $X$ が数体上で定義されているとき、圏 $\operatorname{Perv}_{mf}(X)$ は perverse 直接像に関して安定するか？
• RQ3 純粋な perverse 層のための中間拡大に関するベイリンソンの公式は、有限体を越えて一般化可能か？
• RQ4 $D^b\operatorname{Perv}_{mf}(X)$ 上で重みフィルトレーションに対応する t-構造は何か？ そして、層操作とどのように作用するか？
• RQ5 純粋な対象が半単純でない場合に、重みが不重複な層の間の Ext の消滅をどのように確立できるか？

主な発見

• デリーニの重み・モノドロミー定理を用いて、圏 $\operatorname{Perv}_{mf}(X)$ が perverse 直接像に関して安定していることが示された。
• $({}^w\!D^{\leq a}, {}^w\!D^{\geq a+1})$ は $D^b\operatorname{Perv}_{mf}(X)$ 上で t-構造をなし、重みフィルトレーションを導来圏へ一般化した。
• 重みが不重複な perverse 層の間で Ext 群が消える：$K$ が重み $\leq a$、$L$ が重み $\geq a+1$ のとき $\operatorname{Ext}^i(K,L) = 0$ であり、純粋対象の半単純性を仮定しないでも成り立つ。
• 純粋な $K$ が重み $a$ のとき、$w_{\geq a}j_!K \to j_{!*}K \to w_{\leq a}j_*K$ なる自然な準同型がすべて同型であることが示され、ベイリンソンの結果が数体へ一般化された。
• $D^b\operatorname{Perv}_{mf}(X)$ はクロスファンクター形式論を用いて、六種類の操作（テンソル積および内部Homを含む）をすべて備えている。
• この構成により、[21] の中間拡大公式が、有限体に限らず任意の有限生成体上のスキームへ拡張可能である。