[論文レビュー] Comparing composites of left and right derived functors

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、モデル圏における左導来関手と右導来関手の合成を体系的に比較するための二重カテゴリカル枠組みを導入する。仲間（mates）と結合（conjunctions）を用いて、比較写像を標準的に同定する。導来関手が二重偽関手をなすことを示し、ベースチェンジ定理と射影公式定理を統一的に扱えるようにする。主な結果として、仲間を用いた射影公式の標準的導出が得られ、具体的な同型写像を特定することで、標準的な証明を強化する。

ABSTRACT

We introduce a new categorical framework for studying derived functors, and in particular for comparing composites of left and right derived functors. Our central observation is that model categories are the objects of a double category whose vertical and horizontal arrows are left and right Quillen functors, respectively, and that passage to derived functors is functorial at the level of this double category. The theory of conjunctions and mates in double categories, which generalizes the theory of adjunctions and mates in 2-categories, then gives us canonical ways to compare composites of left and right derived functors. We give a number of sample applications, most of which are improvements of existing proofs in the literature.

研究の動機と目的

• 標準的なモデル圏論がそのような比較に対して標準的枠組みを提供しない状況において、左および右導来関手の合成を概念的に比較する枠組みを提供すること。
• 左クイレン関手と右クイレン関手の取り扱いにおける非対称性を解消し、両方の関手が対称的に扱える二重圏を導入すること。
• 2-圏における仲間の理論を二重圏へ一般化し、導来関手の合成間の標準的比較写像を可能にする。
• ベースチェンジおよび射影公式定理の既存証明を強化し、存在を主張するのではなく、特定の標準的写像（仲間）が同型であることを特定すること。
• 左および右導来関手の概念的差異を、両者を同等に扱える形式的構造を通じて明確化すること。

提案手法

• 垂直射が左クイレン関手、水平射が右クイレン関手である二重圏にモデル圏を埋め込む。
• クイレン随伴の共役対をこの二重圏における結合（conjunctions）として扱い、随伴関手の統一的取り扱いを可能にする。
• クイレン関手から導来関手への移行が、二重偽関手であることを示し、二重圏の構造を保存する。
• 二重圏における仲間を用いて、左および右導来関手の合成間の標準的自然変換を生成する。
• 導来モノイド構造の仲間が主要同型写像であることを特定することで、射影公式およびベースチェンジ定理を導出する。
• 導来関手および弱同値を含む図式を用いて、標準的仲間写像が同型であることを検証する。特に、パrametrized空間および層論において有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なモデル圏論がそのような比較に標準的枠組みを提供しない状況において、左および右導来関手の合成を体系的に比較する方法は何か？
• RQ2 左および右導来関手の区別が果たす概念的役割は何か。そして、それを対称的に形式化する方法は何か？
• RQ3 ベック＝シェヴァレー条件およびベースチェンジ定理は、特殊な議論ではなく、一般原理から導けるか？
• RQ4 左および右導来関手の合成を比較する標準的自然変換は存在するか。そして、それが同型である条件は何か？
• RQ5 パラメータ付き空間および層論における射影公式は、導来モノイド構造の仲間としてどのように再解釈できるか？

主な発見

• クイレン関手の導来関手は、モデル圏およびクイレン随伴の二重圏から、三角化圏の二重圏への二重偽関手をなす。
• 左および右導来関手の合成間の標準的比較写像は、導来変換の仲間であり、明示的に特定され、主要な場合において同型であることが示された。
• パラメータ付き空間の理論において、射影公式は、引き戻し関手上の導来モノイド構造の仲間として得られ、弱同値を含む図式の走査により、この写像が同型であることが示された。
• 層の理論において、射影公式およびベースチェンジ定理は、同型写像が任意の同型ではなく、導来モノイド構造の特定の仲間であることを示すことによって強化された。
• 仲間の使用により、内部ホモが扱いにくい状況においても、Ho(Ex_B)における射影公式を、閉構造および仲間構成を活用して導出可能となった。
• この枠組みにより、特定の導来関手が図式内で可換である理由を概念的に説明できる。その根拠は、標準的写像（仲間）が弱同値であることを確認することで帰着される。