[論文レビュー] Mixed Hodge structures on the intersection homotopy type of complex varieties with isolated singularities

David Chataur, Joana Cirici|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、孤立特異点をもつ複素射影的多様体の perverse 代数的モデルに混合 Hodge 構造を確立し、交差コホモロジーのホモトピー的精細化を可能にする。重みスペクトル系列と Massey 積および形式性の Hodge 論的解析を用いて、大規模なクラスのこのような多様体—例えば孤立した曲面的特異点や通常の孤立特異点をもつ多様体—の交差形式性を証明する。

ABSTRACT

A homotopical treatment of intersection cohomology recently developed by Chataur-Saralegui-Tanré associates a "perverse algebraic model" to every topological pseudomanifold, extending Sullivan's presentation of rational homotopy to intersection cohomology. In this context, there is a notion of "intersection-formality", measuring the vanishing of Massey products in intersection cohomology. In the present paper, we study the perverse algebraic model of complex projective varieties with isolated singularities. We endow such invariant with natural mixed Hodge structures. This allows us to prove some intersection-formality results for large families of complex projective varieties, such as isolated surface singularities and varieties of arbitrary dimension with ordinary isolated singularities.

研究の動機と目的

• 孤立特異点をもつ複素射影的多様体に、 perverse 代数的モデルを用いて有理ホモトピー論を拡張すること。
• 孤立特異点をもつ多様体の perverse 代数的モデルに自然な混合 Hodge 構造を導入すること。
• 混合 Hodge 理論の文脈において、とりわけ中間でない perversity コホモロジーの文脈で、交差形式性を調査すること。
• 重みスペクトル系列を用いて、Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan の形式性定理を特異多様体へ一般化すること。
• 特異多様体の交差コホモロジーにおける Massey 積やコホモロジー的作用素を研究するためのホモトピー的枠組みを提供すること。

提案手法

• piecewise-linear 形式を用いて、リンクの包含写像 $ L \hookrightarrow X_{\text{reg}} $ から perverse 代数的モデル $ I\mathcal{A}_{\overline{\bullet}}(X) $ を構成する。
• Morgan よりも Durfee-Hain によって確立された、$ X_{\text{reg}} $ およびリンク $ L $ の有理ホモトピー型における混合 Hodge 構造を活用する。
• Cirici-Guillén (2014) の混合 Hodge 図式の相対モデルを用いて、Hodge 構造を perverse cdga に持ち上げる。
• perverse 重みスペクトル系列 $ IE_{1,\overline{\bullet}}^{*,*}(X) $ を定義し、その $ E_2 $-項が重みごとの交差コホモロジー $ Gr_\bullet^W IH^*_{\overline{\bullet}}(X;\mathbb{Q}) $ を計算する。
• スペクトル系列を用いて、微分の消滅によって Massey 積の消滅を介して形式性を分析する。
• 重みスペクトル系列が $ E_2 $ で退化するとき、特にコホモロジーにおける重みフィルトレーションが自明な場合に、 perverse cdga が形式的であることを示すことにより、交差形式性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 孤立特異点をもつ複素射影的多様体の perverse 代数的モデルに、自然な混合 Hodge 構造を導入できるか？
• RQ2 perverse 重みスペクトル系列は、特異多様体における交差ホモトピー型の形式性を制御するか？
• RQ3 孤立特異点をもつ複素射影的多様体の大きな族が交差形式的であるか？
• RQ4 特異多様体の交差コホモロジーにおける Massey 積はどのように振る舞い、どのような条件下で消えるか？
• RQ5 perverse cdga における混合 Hodge 構造は、特異空間へと古典的 formality 定理（Deligne-Griffiths-Morgan-Sullivan）をどの程度一般化するか？

主な発見

• 孤立特異点をもつ複素射影的多様体 $ X $ の perverse 代数的モデル $ I\mathcal{A}_{\overline{\bullet}}(X) $ は、自然な混合 Hodge 構造をもつ。
• perverse 重みスペクトル系列 $ IE_{1,\overline{\bullet}}^{*,*}(X) $ は、重みごとの交差コホモロジーを計算する：$ IE_{2,\overline{\bullet}}^{*,*}(X) \cong Gr_\bullet^W IH^*_{\overline{\bullet}}(X;\mathbb{Q}) $。
• 孤立した曲面的特異点に対しては、重みスペクトル系列が $ E_2 $ で退化するため、perverse cdga は交差形式的である。
• 通常の孤立特異点をもつ多様体は、$ \mathrm{Ker}(\gamma^4)/\mathrm{Im}(\eta^4) $ の消滅により、$ \mathbb{C} $ 上で交差形式的である。
• カスプ特異点の例は、非自明な重みフィルトレーションを示している：$ Gr^W_2 IH^2_{\overline{0}}(X;\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Q}^{12} $、$ Gr^W_0 IH^2_{\overline{0}}(X;\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Q} $ であり、非自明な混合 Hodge 構造が確認される。
• 交差形式性は、重みスペクトル系列が $ E_2 $ で退化することにより、Massey 積の消滅が示唆されるため、特に孤立特異点が一つの場合に確立される。