[論文レビュー] Mixed Periodic-classical barrier strategies for Lévy risk processes

José Luis Pérez, Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2016

Probability and Risk Models参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、スペクトラルに負の Lévy リスク過程に対して、ポisson到着時刻における周期的（パリス型）反射と/または上位・下位のバリアにおける古典的反射を組み合わせた混合周期的・古典的バリア戦略を導入する。スケール関数と局所的挙動理論を用いて、配当と資本注入の期待割引現在価値に関する明示的なフラクチュエーション恒等式を導出しており、連続的制御から離れて離散的時間制御機構に一般化された古典的結果を拡張している。

ABSTRACT

Given a spectrally negative Lévy process and independent Poisson observation times, we consider a periodic barrier strategy that pushes the process down to a certain level whenever it is above it. We also consider the versions with additional classical reflection above and/or below. Using scale functions and excursion theory, various fluctuation identities are computed in terms of the scale function. Applications in de Finetti's dividend problems are also discussed.

研究の動機と目的

• 配当と資本注入戦略を、連続的ではなく離散的なポアソン観測時刻での意思決定に限定した保険リスク過程でモデル化すること。
• 反射 Lévy プロセスの古典的フラクチュエーション理論を、周期的（パリス型）反射を含む形に拡張し、離散的および連続的制御機構を統合すること。
• さまざまなハイブリッドバリア戦略下での配当および資本注入の期待割引現在価値（NPV）の明示的表現を導出すること。
• デ・フィネッティの配当問題におけるポアソン観測下で最適であると予想される、定期的監視下での最適配当および救済戦略の理論的基盤を提供すること。
• スケール関数を用いた統一的枠組みにおいて、古典的反射と周期的反射の両方を組み込んだ、既存の反射 Lévy プロセスに関する結果の一般化すること。

提案手法

• 4つの制御過程を定義する：(1) 上方からのパリス型反射、(2) 上方からのパリス型および古典的反射、(3) 上方からのパリス型反射に加え下方からの古典的反射、(4) 周囲の両方のバリアにおける完全な二重反射と周期的干渉。
• フラクチュエーション恒等式を表現するために、スケール関数 $W^{(q)}$, $Z^{(q)}$ 及びその変種 $Z^{(q)}(x,\theta)$, $\tilde{Z}^{(q,r)}$, $\overline{W}^{(q)}$, $\overline{Z}^{(q)}$ を用いる。
• 局所的挙動理論と空間の同一性を適用し、問題をスケール関数およびその微分を含む最初の通過および最初の外れに関する恒等式に還元する。
• スケール関数およびその微分を用いて、総合的配当率のラプラス変換を通じて、配当の期待 NPV の表現を導出する。
• 単調収束定理および極限の議論を用いて、$q=0$ および $q>0$ の場合、および境界が $-\infty$ または $\infty$ の場合の結果を導出する。
• スケール関数と微分係数 $\psi'(0+)$ 間の関係を確立し、$\Phi(q+r)$ を通じてウィーナー＝ホプフ因数分解を組み込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 配当がポアソン観測時刻でのみ支払われる周期的バリア戦略下での、期待割引現在価値（NPV）は何か？
• RQ2 古典的反射と周期的反射がハイブリッド戦略でどのように作用し合うか。その結果として得られる制御過程のフラクチュエーション恒等式は何か？
• RQ3 周期的反射と古典的反射を同時に適用した場合、配当および資本注入の期待 NPV の明示的表現は何か？
• RQ4 単調収束を用いた極限の議論により、無限時間枠組みおよび割引率ゼロ（$q=0$）の場合に結果はどのように拡張されるか？
• RQ5 混合戦略のフラクチュエーション恒等式は、スケール関数およびその微分を用いて簡潔に表現可能か？

主な発見

• 周期的バリア戦略（上方からのパリス型反射）下での配当の期待 NPV は、$\mathbb{E}_x\left[\int_{[0,\infty)} e^{-qt} dR_r^a(t)\right] = \frac{1}{q}\left(\frac{\tilde{Z}^{(q,r)}(-a)}{Z^{(q)}(-a,\Phi(q+r))} - \frac{q\overline{Z}^{(q)}(-a) + \psi'(0+)}{Z^{(q)}(-a)}\right) J_a^{(q,r)}(x) - H_a^{(q,r)}(x)$ と表現され、ここで $J_a^{(q,r)}(x)$ および $H_a^{(q,r)}(x)$ はスケール関数によって定義される。
• 下方からの古典的反射と上方からの周期的反射を組み合わせた場合、配当の期待 NPV は $Z^{(q)}(-a,\Phi(q+r))$, $\overline{W}^{(q+r)}(x)$, および $\overline{Z}^{(q,r)}_a(x)$ を用いて表現され、$\psi'(0+)$ を含む明示的な補正項が付加される。
• 単調収束を用いた極限の議論により、$q=0$ の場合への拡張がなされ、未割引ケースでも表現式が有効であることが示された。
• 微分係数 $\psi'(0+)$ は恒等式に自然に現れ、Lévy プロセスの原点におけるドリフト行動を反映している。
• 周期的干渉を伴う二重反射過程における配当の期待 NPV に対して、$\tilde{Z}^{(q,r)}(-a)$, $Z^{(q)}(-a,\Phi(q+r))$, および $\overline{W}^{(q+r)}(x)$ を含む閉形式の表現式が導出された。
• 主要な恒等式は、$\frac{\tilde{Z}^{(q,r)}(-a)}{Z^{(q)}(-a,\Phi(q+r))}$ の比を含み、スケール関数枠組み内での周期的および古典的反射の組み合わせ効果を捉えている。