[論文レビュー] Mixed volume and an extension of intersection theory of divisors

Kiumars Kaveh, Askold Khovanskiĭ|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2008

Polynomial and algebraic computation参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、n次元の既約多様体 X 上の有理関数の有限次元部分空間に対して、完全多様体を超える古典的交線理論を拡張する、双有理的不変な交線指数を導入する。混合体積の幾何学的類似物として定義された交線指数を、部分空間のグロテンドイック群へ拡張することで、Bernstein-Kuřnirenko定理の一般化と、ホッジ型およびアレクサンドロフ＝フェンヒェル型不等式といった主要な不等式の証明を確立する。

ABSTRACT

Let K(X) be the collection of all non-zero finite dimensional subspaces of rational functions on an n-dimensional irreducible variety X. For any n-tuple L_1,..., L_n in K(X), we define an intersection index [L_1,..., L_n] as the number of solutions in X of a system of equations f_1 = ... = f_n = 0 where each f_i is a generic function from the space L_i. In counting the solutions, we neglect the solutions x at which all the functions in some space L_i vanish as well as the solutions at which at least one function from some subspace L_i has a pole. The collection K(X) is a commutative semigroup with respect to a natural multiplication. The intersection index [L_1,..., L_n] can be extended to the Grothendieck group of K(X). This gives an extension of the intersection theory of divisors. The extended theory is applicable even to non-complete varieties. We show that this intersection index enjoys all the main properties of the mixed volume of convex bodies. Our paper is inspired by the Bernstein-Kushnirenko theorem from the Newton polytope theory.

研究の動機と目的

• トーリック多様体を超えて、任意の既約代数多様体へ Bernstein-Kuřnirenko 定理を一般化すること。
• 多様体 X 上の有理関数の有限次元部分空間に対して、双有理的不変な交線指数を定義すること。
• この交線指数を、有理関数の部分空間の半群のグロテンドイック群へ拡張すること。
• 混合体積の性質（線形性、対称性、アレクサンドロフ＝フェンヒェル不等式など）の代数的幾何学的類似物を確立すること。
• 理論をカーティエ除集合と結びつけ、正規・射影的多様体において、特定の部分空間のグロテンドイック群がカーティエ除集合の群に自然に同型であることを示すこと。

提案手法

• 一般の切断 $ f_i \in L_i $ の共通零点の数として、交線指数 $[L_1, \ldots, L_n]$ を定義する。ただし、すべての $ f_i $ が同時に零になる点、またはいずれかの $ f_i $ が極を持つ点は除く。
• 有理関数の非ゼロ有限次元部分空間の集合 $\mathbf{K}_{\text{rat}}(X)$ を、関数の点ごとの積による可換半群構造で装備する。
• この半群演算に関しての多重線形性を用いて、交線指数を $\mathbf{K}_{\text{rat}}(X)$ のグロテンドイック群へ拡張する。
• 部分空間を有理写像に結びつけるために、Kodaira 写像 $\Phi_L: X \dashrightarrow \mathbb{P}(L^*)$ を用い、正則な Kodaira 写像を持つ部分空間の部分半群 $\mathbf{K}_{\text{Cart}}(X)$ を特定する。
• 解消された曲面におけるケーラー形式を含む積分公式とホッジ理論を適用し、特に曲面におけるホッジ型不等式を導出する。
• 多様体の特異性を解消したモデル上でホッジ指数定理に還元することで、交線指数に対するアレクサンドロフ＝フェンヒェル不等式を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bernstein-Kuřnirenko 定理は、トーリック多様体を超えて、任意の既約代数多様体へ一般化可能か？
• RQ2 有理関数の部分空間に対する交線指数は、双有理同値に関して不変となるように、どのように定義可能か？
• RQ3 交線指数の背後にある代数的構造（例えばグロテンドイック群）は何か？ そして、古典的除集合論とどのように関係するか？
• RQ4 交線指数は、混合体積理論における不等式（例えばアレクサンドロフ＝フェンヒェル不等式）の類似を満たすか？
• RQ5 正則な Kodaira 写像を持つ有理関数の部分空間と、射影的多様体上のカーティエ除集合との間に、自然な対応が存在するか？

主な発見

• 交線指数 $[L_1, \ldots, L_n]$ は、適切に定義されており、双有理的不変であり、$\mathbf{K}_{\text{rat}}(X)$ のグロテンドイック群へ線形に拡張可能である。
• 正規・射影的多様体において、正則な Kodaira 写像を持つ部分空間の部分半群 $\mathbf{K}_{\text{Cart}}(X)$ のグロテンドイック群は、自然に $X$ 上のカーティエ除集合の群に同型である。
• 交線指数はホッジ型不等式を満たす：曲面では $[L_1, L_2]^2 \geq [L_1, L_1][L_2, L_2]$ が成り立つ。
• 交線指数は、多様体の解消モデル上でのホッジ理論を用いて、アレクサンドロフ＝フェンヒェル不等式を示した。
• 理論は、凸体の混合体積を代数的幾何学へ一般化し、交線指数が混合体積の性質を模倣する。
• 交線指数の積分公式は、射影空間上のケーラー形式の引き戻しを含み、代数的幾何学と微分幾何学を結びつける。