[論文レビュー] Mocking the u-plane integral

Georgios Korpas, Jan Manschot+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 51被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、b₁=0、b₂⁺=1 を満たす四次元多様体上の N=2 SU(2)ゲージ理論における u 平面積分が、点観測量に対して擬似モジュラー形式を用い、表面観測量に対して Appell-Lerch 和を用いることで、有効結合定数 τ に変数変換してストークスの定理を適用することにより、有効に計算できることを示している。この積分は特異点における境界項に還元され、指数関数的観測量の真空期待値がファガシティ変数に関して整関数であることが明らかになった。

ABSTRACT

The u-plane integral is the contribution of the Coulomb branch to correlation functions of N=2 gauge theory on a compact four-manifold. We consider the u-plane integral for correlators of point and surface observables of topologically twisted theories with gauge group SU(2), for an arbitrary four-manifold with (b1,b2+)=(0,1). The u-plane contribution equals the full correlator in the absence of Seiberg-Witten contributions at strong coupling, and coincides with the mathematically defined Donaldson invariants in such cases. We demonstrate that the u-plane correlators are efficiently determined using mock modular forms for point observables, and Appell-Lerch sums for surface observables. We use these results to discuss the asymptotic behavior of correlators as function of the number of observables. Our findings suggest that the vev of exponentiated point and surface observables is an entire function of the fugacities.

研究の動機と目的

• b₁=0、b₂⁺=1 を満たすコンパクトな四次元多様体上における N=2 SU(2) ゲージ理論における相関関数への u 平面寄与を計算すること。
• 有理的またはルールドな表面のような特殊ケースにとどまらない、u 平面積分を評価する一般化された手法を確立すること。
• u 平面相関関数を擬似モジュラー形式および Appell-Lerch 和と結びつけ、任意の四次元多様体に対して統一的な枠組みを提供すること。
• 指数関数的点観測量および表面観測量の真空期待値が、ファガシティ変数に関して整関数であることを示すこと。

提案手法

• u 平面積分を u から有効結合定数 τ に変換し、積分領域をモジュラー基本領域 H/Γ⁰(4) に写像する。
• 被積分関数を全微分 dτ ∧ dτ̄ ∂τ̄(du/dτ H_O) の形に書き換え、ストークスの定理の適用を可能にする。
• u 平面積分を u = ∞、+1、-1 の三つの特異点の近傍における境界積分の和に還元する。
• H_O(τ, τ̄) が良好なモジュラー性を持つことを示し、点観測量に対して擬似モジュラー形式を用いて表現可能であることを示す。
• 表面観測量については、ジャコビ形式の非正則的補完を用いて Appell-Lerch 和の形で積分を導出する。
• 不確定なティータ関数による壁越え公式を用いて、特別な計量を超えて結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 b₂⁺=1 かつ b₁=0 を満たす一般的な四次元多様体に対して、有理的またはルールドな表面のような既知のケースにとどまらない、u 平面積分を体系的に評価する方法は何か？
• RQ2 u 平面相関関数のモジュラー構造は何か？また、擬似モジュラー形式および Appell-Lerch 和とどのように関係するか？
• RQ3 指数関数的点観測量および表面観測量の真空期待値は、ファガシティ変数に関して整関数となるか？
• RQ4 u 平面寄与は、一般の b₂⁺=1 の四次元多様体におけるドナルドソン不変量とどのように関係するか？
• RQ5 適切な変数変換を用いてストークスの定理を適用することで、u 平面積分を境界項に還元できるか？

主な発見

• ストークスの定理を用いることで、u 平面積分は u = ∞、+1、-1 の三つの特異点の近傍における境界積分の和に還元される。
• 点観測量に対しては、u 平面相関関数が擬似モジュラー形式で表現され、これは非正則的モジュラー形式の正則部分である。
• 表面観測量に対しては、相関関数が Appell-Lerch 和で表現され、これはジャコビ形式の非正則的補完から生じる。
• 指数関数的点観測量および表面観測量の真空期待値は、ファガシティ変数に関して整関数である。特異点はモジュラー性によって相殺されるためである。
• 結果は一般の計量に対して成り立つ。モジュラー構造のおかげで、対称性が破れる計量であっても双対性変換に対して一貫性が保たれる。
• ドナルドソン不変量との関係が確立された：Seiberg-Witten 補正項がない場合には、u 平面寄与が全相関関数に等しくなり、b₂⁺=1 の多様体における数学的定義のドナルドソン不変量と一致する。