[論文レビュー] Model Predictive Control for Trajectory Tracking on Differentiable Manifolds

Guozheng Lu, Wei Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2021

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 47被引用数 10

ひとこと要約

本論文は、多様体上の軌道追従制御のための汎用的Model Predictive Control (MPC)フレームワークを提案する。特徴は、多様体の制約とシステムダイナミクスを、標準的な多様体上での定式化により分離することで実現する。多様体固有の演算（$oxplus$/$oxminus$）を用いて、所望の軌道に沿ってシステムを線形化し、特異点のない、パrameter数を最小限に抑えた、記号的実装が可能な効率的なMPCを実現する。実世界の無人航空機（UAV）および無人地面車両（UGV）の実験により、$SO(3) imesbR^n$および曲面の上での高い性能が実証された。

ABSTRACT

We consider the problem of bridging the gap between geometric tracking control theory and implementation of model predictive control (MPC) for robotic systems operating on manifolds. We propose a generic on-manifold MPC formulation based on a canonical representation of the system evolving on manifolds. Then, we present a method that solves the on-manifold MPC formulation by linearizing the system along the trajectory under tracking. There are two main advantages of the proposed scheme. The first is that the linearized system leads to an equivalent error system represented by a set of minimal parameters without any singularity. Secondly, the process of system modeling, error-system derivation, linearization and control has the manifold constraints completely decoupled from the system descriptions, enabling the development of a symbolic MPC framework that naturally encapsulates the manifold constraints. In this framework, users need only to supply system-specific descriptions without dealing with the manifold constraints. We implement this framework and test it on a quadrotor unmanned aerial vehicle (UAV) operating on $SO(3) imes \mathbb{R}^n$ and an unmanned ground vehicle (UGV) moving on a curved surface. Real-world experiments show that the proposed framework and implementation achieve high tracking performance and computational efficiency even in highly aggressive aerobatic quadrotor maneuvers.

研究の動機と目的

• 非ユークリッド的多様体（例：$SO(3)$、$\mathbb{S}^2$、2次元曲面）上を移動するロボット系に適用可能な汎用的MPC定式化の欠如に対処する。
• Euler角などの最小パラメータ化やクォータニオンなどの過剰パラメータ化による特異点や正規化制約の問題を克服する。
• 多様体の制約とシステムダイナミクスを分離し、特定の多様体に依存しない記号的かつ再利用可能なMPCフレームワークを実現する。
• 軌道に沿った線形化手法を開発し、幾何的構造を保持するとともに特異点を回避する。
• 複雑な多様体上を動作する実世界のロボット系において、高い追従精度と計算効率を示す。

提案手法

• 多様体上でのMPCを、多様体制約をシステムモデルに直接埋め込む標準的表現を用いて定式化する。これに伴い、演算$\boxplus$および$\boxminus$を用いる。
• 各点における接空間を用いて、参照軌道に沿った線形化スキームを導入し、誤差系が最小パラメータで記述されることを保証する。
• リー群上での随伴表現および$\text{Exp}$と$\text{Log}$写像を用いて、線形化されたシステムダイナミクスを導出する。これにより、特異点を回避できる。
• 実際の状態と望ましい状態の差を多様体上に定義するため、誤差系を$\boxminus$演算を用いて構築する。
• 多様体の記述をシステムダイナミクスから分離し、ユーザーはシステム固有のダイナミクスと制約のみを入力すればよい。
• MPCフレームワークを記号的に実装し、埋め込まれた多様体制約を持つ最適化問題の自動生成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の微分可能多様体上での軌道追従制御に向けたMPCを、ベクトル空間の仮定に依存せずに形式的に定式化する方法は何か？
• RQ2 多様体上での軌道追従に際し、幾何的構造を保持し、特異点を回避する線形化手法を開発できるか？
• RQ3 多様体制約をシステムダイナミクスからどれほど分離できるか。これにより、再利用可能で記号的なMPCフレームワークを実現できるか？
• RQ4 提案された多様体上でのMPCは、実世界のロボット系において、追従精度と計算効率の面でどの程度の性能を示すか？
• RQ5 四脚ローターのアクロバティクスのような高非線形的・急激な運動を処理する際、安定性と制約の満たし方を維持しながらフレームワークが対応できるか？

主な発見

• 提案されたMPCフレームワークは、$SO(3)\times\mathbb{R}^n$上を急激なアクロバティクス飛行を実行する無人航空機（UAV）に対して、極めて高い追従性能を達成し、最小限の追従誤差を実現した。
• 最小パラメータ誤差系と分離された多様体制約のおかげで、計算効率が高く、高い性能を発揮した。
• Euler角に起因する特異点を回避し、クォータニオンベースの手法で必要な正規化制約も不要であることが確認された。
• 曲面を走行するUGVを用いた実験では、非平坦で非ユークリッド的な多様体上でも、正確な軌道追従が維持された。
• 記号的MPCフレームワークにより、埋め込まれた多様体制約を持つ最適化問題の自動生成が可能となり、実装の複雑さが大幅に低減された。
• 実世界の実験により、$SO(3)$、$\mathbb{S}^2$、および2次元曲面など、複数の多様体上で安定的かつ正確な制御が達成されたことが実証された。