[論文レビュー] Models of Brauer-Severi surface bundles

Andrew Kresch, Yuri Tschinkel|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|Aug 21, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、根スタックを用いたグローバルな幾何的枠組みを構築し、標準的ブラウアー–シーベルスキー表面バンドル（滑らかな多様体上へのファイバーが非自明な $\mathbb{P}^2$ の形をとるファイブレーション）の構成を行い、その有理性問題における役割を確立する。特に、2次デル・ペッツォ多様体上での非常に一般なこのようなバンドルが安定有理でないことを証明し、特異化法を円柱バンドルから高次元のファイブレーションへ拡張する。

ABSTRACT

We study Brauer-Severi surface bundles over smooth projective varieties via root stacks, with a view towards applications to failure of stable rationality.

研究の動機と目的

• 安定有理性の特異化法を円柱バンドルから、一般ファイバーが $\mathbb{P}^2$ の非自明な形をとるファイブレーションへ拡張すること。
• 根スタックを用いて、制御された退化をもつグローバルなブラウアー–シーベルスキー表面バンドルのモデルを構成すること。
• アーティン–マエダの局所的構成を、グローバルかつ関手的な設定で幾何的実現すること。
• この枠組みを応用し、2次デル・ペッツォ多様体上での非常に一般なブラウアー–シーベルスキー表面バンドルの非安定有理性を証明すること。

提案手法

• 特異点を解消し、単純な正則交差除部分集合上での制御された退化をもつ平坦かつ射影的な準同型を根スタックを用いて構成する。
• 関手的埋め込み解消および特異点解消を適用し、判別式上での指定されたファイバー型をもつ標準的ブラウアー–シーベルスキー表面バンドルの標準形に還元する。
• 相対的半アーメーブラインバンドルおよび正規コーン構成を用いて、普遍性を用いて吹き上げを収縮として実現する。
• 収縮の普遍性を用い、写像 $\pi: X \to Y$ が退化ファイバー部分集合を介して因数分解する写像の普遍的解として特徴づける。
• コhomオロジーの消滅および正規生成条件を用いて、半アーメーブラインバンドルおよび基底上の平坦性を保証する。
• 相対的正則性および形式的関数の理論に依拠し、高次コhomオロジーの消滅を検証し、所望の収縮を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サルキソフプログラムおよびアーティン–マエダの局所的構成は、一般ファイバーが非自明な $\mathbb{P}^2$ の形をとるファイブレーションへグローバル化可能か？
• RQ2 滑らかな基底上での標準的ブラウアー–シーベルスキー表面バンドルの退化ファイバーの正確な幾何的構造は何か？
• RQ3 根スタックを用いて、制御された特異点と平坦性をもつこのようなファイブレーションのモデルをどのように構成できるか？
• RQ4 2次デル・ペッツォ多様体上でのブラウアー–シーベルスキー表面バンドルの族において、安定有理性の障害として生じるものは何か？
• RQ5 特異化法は、円柱バンドルおよび二次曲面バンドルを越えて、高次元ファイブレーションへ拡張可能か？

主な発見

• 滑らかな射影的多様体 $S$ 上の標準的ブラウアー–シーベルスキー表面バンドルは、解消の仮定のもとでグローバルに存在し、判別式の滑らかな部分集合上でファイバーが三つの $\mathbb{F}_1$ 表面の和集合であり、その特異部分集合上でファイバーはねじれ三次曲線の錐となる。
• この構成により、$\tilde{X} \to \tilde{S}$ となる双有理的モデル $\tilde{X} \to \tilde{S}$ が得られ、$\tilde{\pi}: \tilde{X} \to \tilde{S}$ はアーティン–マエダの局所的結果を一般化した標準的ブラウアー–シーベルスキー表面バンドルである。
• $\tilde{\pi}$ は平坦であり、退化は判別式除部分集合およびその特異部分集合の幾何的性質によって制御される。
• 2次デル・ペッツォ多様体 $S$ において、線形系統 $|d(-K_S)|$ の非常に一般なメンバー（$d \geq 3$）に対応するブラウアー–シーベルスキー表面バンドルは、安定有理でない。
• 非安定有理性は、非自明な未分岐コhomオロジーをもつ特別なファイバーと穏やかな特異点をもつことに基づく特異化法により確立される。
• この枠組みにより、アーティンおよびマエダの局所的構成のグローバルかつ関手的版が得られ、モジュライ問題および有理性の問題への応用が可能になる。