[論文レビュー] Models of Lubin-Tate spectra via Real bordism theory

Agnès Beaudry, Michael A. Hill+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Realバーンサイド環 $MU_{\mathbb{R}}$ のノルムから得られる等変形式的群の法則を用いて、高さ $h = 2^{n-1}m$ の $C_{2^n}$-等変的Real指向モデルのLubin-Tateスペクトルを構成する。係数環上の $C_{2^n}$-作用の明示的公式を提示し、これらのスペクトルのホモトピー固定点の $K(h)$-局所化が、ノルム化されたRealブラウン・ペテルソンスペクトルの局所化された切断と同値であることを確立する。これは、Real $K$-理論の高次クロミティック類似物を提供する。

ABSTRACT

We study certain formal group laws equipped with an action of the cyclic group of order a power of $2$. We construct $C_{2^n}$-equivariant Real oriented models of Lubin-Tate spectra $E_h$ at heights $h=2^{n-1}m$ and give explicit formulas of the $C_{2^n}$-action on their coefficient rings. Our construction utilizes equivariant formal group laws associated with the norms of the Real bordism theory $MU_{\mathbb{R}}$, and our work examines the height of the formal group laws of the Hill-Hopkins-Ravenel norms of $MU_{\mathbb{R}}$.

研究の動機と目的

• 等変形式的群の法則を用いて、$C_{2^n}$-等変的Real指向Lubin-Tateスペクトルを高さ $h = 2^{n-1}m$ で構成すること。
• これらのスペクトルの係数環上の $C_{2^n}$-作用の明示的公式を提供し、高次クロミティックレベルへのアダムズ作用の一般化を行うこと。
• Hill-Hopkins-Ravenelのノルム $N_{C_2}^{C_{2^n}}BP_{\mathbb{R}}$ の切断のクロミティック高さを、より広範なモジュライ理論的枠組みの中で研究すること。
• Lubin-Tateスペクトルのホモトピー固定点と、ノルム化されたRealブラウン・ペテルソンスペクトルの局所化された切断との間の $K(h)$-局所同値性を確立すること。

提案手法

• Realバーンサイド環スペクトル $MU_{\mathbb{R}}$ のノルムに関連する等変形式的群の法則を用いて、$C_{2^n}$-等変的Lubin-Tateスペクトルを構成する。
• 有限体の特徴類2における形式的群の法則の普遍変形を、$C_{2^n}$-作用を伴って用い、係数環を定義する。
• 等変方向理論と局所化を適用し、スペクトルをノルム $N_{C_2}^{C_{2^n}}BP_{\mathbb{R}}$ 及びその切断と関連付ける。
• Künnethスペクトル系列を用いて、一般化されたモアスペクトルとのテンソル積のホモトピー群を分析し、$K(h)$-局所的自明性を導出する。
• ホモトピー固定点に $L_{K(h)}(-)$ を適用し、$L_{K(h)}(D^{-1}BP^{(\!(G)\!)}\langle m\rangle)$ からの写像がホモトピー群で同型であることを示す。
• $v_r$ がKünnethスペクトル系列の $E_2$-頁上で自明に作用することを活用し、すべてのホモトピー群が $v_r$- torsion であることを示し、$K(h)$-局所的コンパクト性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さ $h = 2^{n-1}m$ の $C_{2^n}$-等変的Real指向Lubin-Tateスペクトルをどのように構成できるか？
• RQ2 このようなLubin-Tateスペクトルの係数環上の $C_{2^n}$-作用の明示的公式は何か？
• RQ3 ノルム $N_{C_2}^{C_{2^n}}BP_{\mathbb{R}}$ の切断のクロミティック高さは何か？
• RQ4 Lubin-Tateスペクトルのホモトピー固定点スペクトルは、ノルム化されたRealブラウン・ペテルソンスペクトルの局所化された切断とどのように関係するか？
• RQ5 Lubin-Tateスペクトルのホモトピー固定点の $K(h)$-局所化は、ノルムスペクトルの局所化された商と同定可能か？

主な発見

• Lubin-Tateスペクトル $E(k, \Gamma_h)$ の係数環上の $C_{2^n}$-作用は、$C_{2^n}$ の誘導符号表現のコピーの直和の対称代数の周期化の完成化として明示的に記述される。
• Lubin-Tateスペクトル $E(k, \Gamma_h)$ のホモトピー固定点は、$K(h)$-局所的に $L_{K(h)}(D^{-1}BP^{(\!(G)\!)}\langle m\rangle)$ と同値であり、ここで $G = C_{2^n}$ である。
• $i_e^* D^{-1}BP^{(\!(G)\!)}\langle m\rangle$ の $K(h)$-局所化は、ホモトピー固定点 $i_e^* E(k, \Gamma_h)^{hC(k,m)}$ と同型であり、$K(h)$-局所圏における重要な同値性を確立する。
• スペクトル系列の議論により、$X \wedge_{MU} MU/(v_0^{j_0}, \ldots, v_{r-1}^{j_{r-1}})$ のKünnethスペクトル系列の $E_2$-頁上で $v_r$ が自明に作用することが示され、すべてのホモトピー群が $v_r$- torsion であり、したがって $K(h)$-局所的にコンパクトであることを示す。
• Künnethスペクトル系列の $E_2$-頁は $(\pi_*X)/(v_0^{j_0}, \ldots, v_{r-1}^{j_{r-1}})$ にモジュールとして作用する。$v_r \in (v_0, \ldots, v_{r-1})$ であるため、$q = \sum j_i$ に対して $v_r^q$ が $E_2$-頁上でゼロであることが従い、ホモトピー群に $v_r$- torsion が存在する。
• $i_e^* BP^{(\!(G)\!)} \to i_e^* E(k, \Gamma_h)^{hC(k,m)}$ の写像は $i_e^* D^{-1}BP^{(\!(G)\!)}\langle m\rangle$ を通って因数分解され、$K(h)$-局所化における誘導写像がホモトピー群で同型である。