[論文レビュー] Moderate Deviation Principle for dynamical systems with small random perturbation

Yutao Ma, Ran Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{R}^d$ における小きいノイズ確率微分方程式（SDE）の解について、中程度の偏差原理（MDP）を確立する。これは、フリードリン＝ウェントセルの大偏差理論を拡張したものである。ノイズ強度 $\ sqrt{\varepsilon}$ が無視できるほど小さくも、大きくもないスケーリングの下で $X^\varepsilon_t$ の漸近的挙動を分析することにより、MDPのレート関数に対する変分公式を導出し、大偏差とガウス的フラクチュエーションの間の精密な近似を提供する。

ABSTRACT

Consider the stochastic differential equation in $ r^d$ dX^{\e}_t&=b(X^{\e}_t)dt+\sqrt{\e}σ(X^\e_t)dB_t X^{\e}_0&=x_0,\quad x_0\in r^d$ where $b: r^d o r^d$ is $C^1$ such that $ \leq C(1+|x|^2)$, $σ: r^d o \MM(d imes n)$ is locally Lipschitzian with linear growth, and $B_t$ is a standard Brownian motion taking values in $ r^n$. Freidlin-Wentzell's theorem gives the large deviation principle for $X^\e$ for small $\e$. In this paper we establish its moderate deviation principle.

研究の動機と目的

• 小ランダム摂動を伴う確率的力学系におけるフリードリン＝ウェントセルの大偏差原理を、中程度の偏差に拡張すること。
• ノイズ強度 $\sqrt{\varepsilon}$ が消失的にならない中程度のスケーリングにおいて、解 $X^\varepsilon_t$ の漸近的挙動を分析すること。
• 基礎となるSDEの作用関数を用いて、中程度の偏差レート関数の変分公式を導出すること。

提案手法

• 滑らかさ $C^1$ のドリフトおよび局所リプシッツ連続な拡散係数を有する確率微分方程式 $dX^\varepsilon_t = b(X^\varepsilon_t)dt + \sqrt{\varepsilon}\sigma(X^\varepsilon_t)dB_t$ を定式化すること。
• 制御過程の収束を分析することにより、弱収束法を用いて中程度の偏差原理を証明すること。
• ドンスカー＝ヴァラドハンの変分公式を用いて、制御されたSDEの作用関数に基づきレート関数を特徴付けること。
• 非線形性を有するドリフトおよび拡散係数を取り扱うために、制御過程のtightnessおよび指数的同等性を確立すること。
• 解およびその制御版の存在性と正則性を保証するためのドリフト $b$ および拡散係数 $\sigma$ に対する必要な条件を検証すること。
• 制御過程のエネルギーを含む変分問題の解として、中程度の偏差レート関数を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小ノイズを有するSDEの、中程度の偏差挙動は、大偏差と中心極限定理の領域とどのように異なるか？
• RQ2 このクラスのSDEにおける中程度の偏差を支配するレート関数の明確な形は何か？
• RQ3 ドリフト $b$ および拡散係数 $\sigma$ に対する与えられた正則性仮定の下で、弱収束法をどのように中程度の偏差原理の導出に適応できるか？
• RQ4 作用関数の構造は、中程度の偏差スケーリングにおける最適制御経路とどのように関係するか？
• RQ5 ドリフト $b$ および拡散係数 $\sigma$ に課される条件は何か？ これにより、$C^1$ および線形成長の設定下で中程度の偏差原理の有効性が保証される。

主な発見

• 与えられた $C^1$ ドリフトおよび局所リプシッツ連続で線形成長を満たす拡散係数の下で、SDEに対して中程度の偏差原理が成り立つ。
• 中程度の偏差原理のレート関数は、有限エネルギーを持つ絶対連続路の族の上での作用関数の下界（インフィミム）として特徴付けられる。
• 制御されたSDEを用いた変分公式を通じて、レート関数がフリードリン＝ウェントセルの枠組みを一般化する形で表現される。
• 制御過程の収束は、tightnessおよび指数的同等性によって確立され、MDPの有効性が保証される。
• この結果により、大偏差とガウス的フラクチュエーションの間の橋渡しがなされ、中間スケールの偏差に対する精密な近似が得られる。