[論文レビュー] Moderate Deviations for Mean Field Particle Models

Pierre Del Moral, Shulan Hu+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、半群解析と確率的摂動技術を用いて、一般クラスの平均場粒子モデルに対する中程度偏差原理を確立する。τ位相および一様位相における履歴測度の関数的中程度偏差を導出し、エントロピーと被覆数推定を用いた指数モーメントの上限を証明することで、相互作用粒子系における経験過程の正確な漸近的挙動を明らかにする。

ABSTRACT

This article is concerned with moderate deviation principles of a general class of mean eld type interacting particle models. We discuss functional moderate deviations of the occupation measures for both the strong -topology on the space of fi nite and bounded measures as well as for the corresponding stochastic processes on some class of functions equipped with the uniform topology. Our approach is based on an original semigroup analysis combined with stochastic perturbation techniques and projective limit large deviation methods.

研究の動機と目的

• 一般非線形ダイナミクスを有する平均場粒子系に対する中程度偏差原理の確立。
• τ位相および一様位相における履歴測度の関数的中程度偏差の分析。
• 相互作用粒子系における経験過程の鋭い指数モーメント推定の導出。
• 射影極限と関数空間内の確率過程のための大偏差技法の統合。

提案手法

• 粒子系の生成作用素およびその摂動を調べるために半群解析を用いる。
• 平均場極限まわりの揺らぎを制御するために確率的摂動技術を適用する。
• 射影極限手法を用いて、中程度偏差結果を無限次元関数空間に拡張する。
• 部分ガウス過程の最大不等式を用いて指数モーメント上限を導出する。
• 関数クラスの複雑さを制御するために、エントロピーおよび被覆数推定（対数エントロピー積分）に依存する。
• エントロピー積分および被覆数を含むモーメント母関数の上限を用いて、ラプラス型推定を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均場粒子系の履歴測度は、中程度偏差スケールにおいて、どのようにその平均場極限から逸脱するか？
• RQ2 τ位相および一様位相において、相互作用粒子系における経験過程の関数的中程度偏差挙動はいかなるものか？
• RQ3 非マルコフ的・非線形な平均場モデルにおける経験過程の指数モーメント上限はどのように導出可能か？
• RQ4 被覆数およびエントロピー積分は、中程度偏差の速度を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 射影極限技法を用いることで、無限次元構造を有する関数空間への中程度偏差原理の拡張は可能か？

主な発見

• 本稿は、有限かつ有界測度上のτ位相における平均場粒子系の履歴測度に対して、関数的中程度偏差原理を確立する。
• 経験過程の対数モーメント母関数が、エントロピー積分および被覆数項の組み合わせによって上界で抑えられることを証明する。
• 部分ガウス過程の最大不等式およびエントロピー積分推定を用いて指数モーメント上限を導出し、正確な漸近的挙動を明らかにする。
• 中程度偏差のレート関数は、対数モーメント母関数およびエントロピー積分を用いて特徴付けられる。
• 関数クラスの対数被覆数を含む明示的上限が得られ、定数は関数空間の複雑さに依存する。
• 射影極限技法を用いて結果を関数空間に拡張し、経路空間モデルおよび逐次推定への応用を可能にする。