[論文レビュー] Moderate deviations principle for systems of slow-fast diffusions

Matthew R. Morse, Konstantinos Spiliopoulos|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、統一的な弱収束と確率的制御のアプローチを用いて、スローファストなダイナミクスを有するマルチスケール拡散過程における中程度偏差原理（MDP）を確立する。ポisson方程式の解を介して明示的な作用関数を導出し、相関のあるノイズと全空間状態空間を想定した場合でも、平均化およびホモゲナイゼーションの両レジームで有効である。これにより、効率的なレアイベントシミュレーション手法の構築が可能となる。

ABSTRACT

In this paper, we prove the moderate deviations principle (MDP) for a general system of slow-fast dynamics. We provide a unified approach, based on weak convergence ideas and stochastic control arguments, that cover both the averaging and the homogenization regimes. We allow the coefficients to be in the whole space and not just the torus and allow the noises driving the slow and fast processes to be correlated arbitrarily. Similar to the large deviation case, the methodology that we follow allows construction of provably efficient Monte Carlo methods for rare events that fall into the moderate deviations regime.

研究の動機と目的

• スローファスト成分を有するマルチスケール拡散系における中程度偏差原理（MDP）の統一的枠組みを構築すること。
• 既存のMDP結果をトーラス上での制限や独立ノイズの仮定を超えて一般化し、一般のユークリッド状態空間と相関のあるノイズを許容すること。
• 補助ポアソン方程式の解を用いて作用関数の明示的表現を提供し、数値計算を可能とすること。
• 平均化レジーム（b = 0）とホモゲナイゼーションレジーム（b ≠ 0）の両方を、同一の解析的手法で統一的に取り扱うこと。
• 中程度偏差レジームにおけるレアイベント推定のための、証明可能に効率的なモンテカルロ法の基盤を築くこと。

提案手法

• BudierとDupuis（2000）の弱収束アプローチを採用し、MDPを確率的制御問題に結びつける。
• 時間スケール分離パラメータδとノイズ強度εを用いてスローファスト系を定義し、ε → 0およびδ → 0が異なるレートで進行するように設定する。
• 中程度偏差過程ηᵗᵉ = (Xᵗᵉ − X̄ᵗ)/(√ε h(ε))を定義する。ここでh(ε) → ∞かつ√ε h(ε) → 0（ε ↓ 0のとき）を満たす。
• ギルサノフの定理を用いて、対応する制御付き拡散過程(Xᵗᵉᵘ, Yᵗᵉᵘ)を構築し、対数モーメント母関数を表現する。
• 作用関数を特徴付けるために、補助ポアソン方程式の解である補正関数Φ₁およびΦ₂を解く。
• 係数の多項式成長条件を活用し、モーメントバウンドとドーブのマルティンゲール不等式を用いて、緊密性と収束性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均化およびホモゲナイゼーションの両レジームにおいて、統一的な枠組みのもとでスローファスト拡散過程に対する中程度偏差原理をどのように導出できるか。
• RQ2 相関のあるノイズと全空間状態空間を有する系におけるMDPの作用関数の明示的形は何か。
• RQ3 ポアソン方程式の解を用いて、作用関数を数値的または解析的に計算可能か。
• RQ4 弱収束アプローチは、中程度偏差レジームにおけるレアイベントのための効率的モンテカルロ法の構築をどのように支援するか。
• RQ5 トーラス上での制限や一般のノイズ相関を考慮した場合に、MDP結果を拡張する際の技術的課題は何か。

主な発見

• 本稿は、トーラスに制限されない、全空間ℝⁿ × ℝᵈ上に定義された係数を有する一般のスローファスト拡散過程のMDPを確立する。
• 作用関数は、高速過程の生成作用素を含む特定のポアソン方程式の解を通じて明示的に特徴付けられ、数値計算が可能である。
• 同じ枠組み内で、平均化（b = 0）とホモゲナイゼーション（b ≠ 0）の両レジームの解析を統一的に扱える。
• スローモデルとファストモデルを駆動するノイズの間の任意の相関を許容でき、先行研究を著しく一般化した。
• 係数の多項式成長条件を用いて、モーメントバウンドとドーブの不等式により、制御付き過程の緊密性を確立した。収束速度はδおよびh(ε)に依存する。
• 作用関数が明示的に計算可能であるため、中程度偏差レジームにおけるレアイベント推定のための、証明可能に効率的なモンテカルロ推定器の設計に基盤を提供する。