[論文レビュー] Modular anomaly equations and S-duality in N=2 conformal SQCD

Sujay K. Ashok, M. Billó+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、Z₃対称性を持つ特別な真空におけるSU(3)ゲージ群と6つのファンドアメンタルハイパーマニフォールドをもつN=2超共形SQCDに対して、モジュラー異常方程式を導出する。局在化を用いてインスタントン補正を計算することで、プリポテンシャル、双対周期、周期行列が、Γ₁(3)の準モジュラー形式である再帰関係に従うことが示される。S-duality群であるΓ₁(3)の下で、非摂動的力学にS-dualityを符号化するキーアイテムは、モジュラー異常方程式である。

ABSTRACT

We use localization techniques to study the non-perturbative properties of an N=2 superconformal gauge theory with gauge group SU(3) and six fundamental flavours. The instanton corrections to the prepotential, the dual periods and the period matrix are calculated in a locus of special vacua possessing a Z_3 symmetry. In a semi-classical expansion, we show that these observables are constrained by S-duality via a modular anomaly equation which takes the form of a recursion relation. The solutions of the recursion relation are quasi-modular functions of Gamma_1(3), which is a subgroup of the S-duality group and is also a congruence subgroup of SL(2,Z).

研究の動機と目的

• SU(3)ゲージ群と6つのファンドアメンタルハイパーマニフォールドをもつN=2超共形SQCDの非摂動的力学を研究すること。
• Z₃対称性を持つ特別な真空におけるプリポテンシャル、双対周期、周期行列へのインスタントン補正を計算すること。
• 有効理論にS-dualityを符号化するモジュラー異常方程式を導出すること。
• 再帰関係の解が、SL(2,Z)の合同部分群Γ₁(3)の準モジュラー形式であることを示すこと。
• 特定の有効結合定数τの選択により、多インスタントン計算とS-dualityの直接的な関係を確立すること。

提案手法

• Z₃対称性を持つ特別な真空におけるプリポテンシャル、双対周期、周期行列へのインスタントン補正を計算するために、局在化技術が用いられる。
• Seiberg-Witten曲線は、Type IIA弦理論におけるNS5-D4ブレーン配置を用いて構成され、M理論に持ち上げられる。
• 有効結合定数τは、S-duality群Γ₁(3)を保存する特別な真空における質量ゼロ理論の結合定数として選ばれる。
• 周期積分に対する再帰関係が導出され、非摂動的補正を支配し、その解がΓ₁(3)の準モジュラー形式となる。
• 準モジュラー関数f₁、f₋、およびE₂のモジュラー変換性が解析され、S-dualityにおけるE₂の異常変換が含まれる。
• 解は重みとSパリティで分類され、双対周期展開における係数g₃とg₄は、k=4までの一貫した摂動的およびインスタントン補正の一致によって固定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(3) N=2超共形SQCDで6つのファンドアメンタルハイパーマニフォールドをもつ特別な真空において、プリポテンシャルおよび周期行列へのインスタントン補正はどのように振る舞うか？
• RQ2 S-duality群がSL(2,R)の離散部分群である場合、有効結合定数τはS-dualityをどのように符号化するか？
• RQ3 周期積分のモジュラー変換性は、非摂動的プリポテンシャルの構造をどのように制約するか？
• RQ4 S-dualityを再帰関係の観点から捉えるモジュラー異常方程式を導出できるか？
• RQ5 インスタントン計算からどのようにΓ₁(3)の準モジュラー形式が出現し、物理的観測量と関係するか？

主な発見

• プリポテンシャルおよび周期行列の補正は、特別な真空におけるS-duality群である合同部分群Γ₁(3)の準モジュラー形式として表現される。
• モジュラー異常方程式から導かれる再帰関係の解は、Γ₁(3)の準モジュラー関数であり、f₁、f₋、E₂を用いたg₃およびg₄の明示的表現が得られる。
• 有効結合定数τはS-dualityにおいてτ → −1/(3τ)と変換し、周期行列はこの作用のもとで不変であり、Cartan形式を保存する。
• 準モジュラー関数E₂(τ)はS-dualityにおいて異常に変換し、その異常項は明示的に−(i√3 τ)²Ẽ₂(τ) + 18/(iπ)τとして計算される。
• 双対周期展開における係数g₃とg₄は再帰関係によって完全に決定され、4インスタントンまで（k=4）のインスタントン補正と一致する。
• 重み10までのΓ₁(3)のモジュラー形式のSパリティ分類が提示され、f₁はSパリティ−1、f₁²はSパリティ+1を示す。これにより、解の構造が固定される。