[論文レビュー] S-duality and the prepotential in N=2* theories (II): the non-simply laced algebras

M. Billó, M. Frau+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、非単純根系を持つ N=2⋆ 超対称ゲージ理論（B_r, C_r, F_4, G_2）における前ポテンシャルのモジュラー異常方程式を導出し、前ポテンシャルが合同部分群 Γ₀(n_g) の準モジュラー形式によって再帰的に決定されることを示している。S-duality 関係により、SO(2r+1) が Sp(2r) に、F₄/G₂ がそれぞれ自身に写像され、インスタントン計算およびエイゼンスタイン級数とシータ定数のモジュラー性質を用いて正確な結果が得られている。

ABSTRACT

We derive a modular anomaly equation satisfied by the prepotential of the N=2* supersymmetric theories with non-simply laced gauge algebras, including the classical B and C infinite series and the exceptional F4 and G2 cases. This equation determines the exact prepotential recursively in an expansion for small mass in terms of quasi-modular forms of the S-duality group. We also discuss the behaviour of these theories under S-duality and show that the prepotential of the SO(2r+1) theory is mapped to that of the Sp(2r) theory and viceversa, while the exceptional F4 and G2 theories are mapped into themselves (up to a rotation of the roots) in analogy with what happens for the N=4 supersymmetric theories. These results extend the analysis for the simply laced groups presented in a companion paper.

研究の動機と目的

• 単純根系 ADE 代数に限らないモジュラー異常方程式フレームワークを、B_r, C_r, F_4, G_2 を含む非単純根系ゲージ群へ拡張すること。
• 非単純根系を持つ N=2⋆ 理論の前ポテンシャルを、Γ₀(n_g) の準モジュラー形式によって支配される質量の再帰的展開として導出すること。
• ルート系の双対性に基づき、SO(2r+1) の前ポテンシャルが Sp(2r) のものに写像されることを示し、F₄/G₂ が自身に写像されることで S-duality を確認すること。
• 等化局所化を用いて古典的 B_r および C_r 代数の微視的インスタントン計算を行い、S-duality の予測と比較可能にする。
• 最初のいくつかの質量展開係数をモジュラー形式の言語で正確に表現し、テイラー展開によって完全なマルチインスタントン補正を得ること。

提案手法

• S-duality における E₂ の異常変換を用いて前ポテンシャルのモジュラー異常方程式を導出し、質量展開係数に対する再帰的関係を導出する。
• 合同部分群 Γ₀(n_g) をモジュラー群とし、n_g は長根と短根の長さの二乗比である。係数は準モジュラー形式として表現される。
• ルート格子に S-duality 変換を適用し、長根と短根が交換されることを示し、双対ゲージ代数 g と g∨ が得られることを示す。
• 等化局所化技術を用いて B_r および C_r ゲージ群のマルチインスタントン補正を計算し、微視的データを提供する。
• エイゼンスタイン級数 E₂, E₄, E₆ およびシータ定数を用いて前ポテンシャル係数を表現し、モジュラー整合性を保つために倍乗および三重化公式を用いる。
• E₂, E₄, E₆ の τ → -1/τ, -1/2τ, -1/3τ における変換法則を用いて、モジュラー異常方程式が正しい強い/弱い結合定数変換を導くことにより S-duality を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュラー異常方程式は、単純根系 ADE 代数から B_r, C_r, F_4, G_2 のような非単純根系ゲージ代数へどのように一般化されるか？
• RQ2 非単純根系 N=2⋆ 理論における前ポテンシャルのモジュラー構造において、合同部分群 Γ₀(n_g) の役割は何か？
• RQ3 S-duality 変換は、非単純根系を持つ N=2⋆ 理論の前ポテンシャルにどのように作用するか？また、双対ゲージ群間の写像関係は何か？
• RQ4 インスタントン計算を用いて前ポテンシャル係数を体系的に計算し、古典的および例外的非単純根系代数においてモジュラー形式の言語で表現可能か？
• RQ5 エイゼンスタイン級数およびシータ定数のモジュラー変換性が、非単純根系の場合に S-duality と整合的である程度は何か？

主な発見

• 非単純根系を持つ N=2⋆ 理論の前ポテンシャルは、Γ₀(n_g) の準モジュラー形式によってすべての質量展開係数が再帰的に決定されるモジュラー異常方程式を満たす。
• S-duality 変換により、SO(2r+1) 理論は Sp(2r) 理論に写像され、逆も同様に成り立つ。一方の理論の前ポテンシャルは、他方の理論の前ポテンシャルのラグランジュ変換として関連づけられる。
• 例外的代数 F₄ および G₂ に対しては、S-duality はルート系の自己同型として作用し、ルートの置換を除いて各理論が自身に写像される。
• 前ポテンシャル係数は、Eisenstein 級数 E₂, E₄, E₆ およびシータ定数を用いて正確に表現され、B_r および C_r 系列に対して明示的な公式が導出された。
• τ → 3τ および τ → 2τ における E₂, E₄, E₆ の三重化および倍乗公式を用いて、特に τ → -1/2τ および τ → -1/3τ における S-duality 整合性を検証した。
• モジュラー形式のテイラー展開により、完全なマルチインスタントン補正が得られ、24q, 24q², 96q³ などの明示的係数が H₂(τ) に、12q, 36q², 12q³ が K₂(τ) に現れた。