[論文レビュー] Modular Bootstrap Revisited

Scott Collier, Ying-Hsuan Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 19被引用数 22

ひとこと要約

この論文は2次元CFTにおけるモジュラーブートストラップを再考し、τおよびτ̄における微分を組み込んだ洗練された線形関数型を用いて、演算子次元のより厳しい境界を導出する。その結果、中央電荷cが大きいとき、最適なギャップ境界Δ_mod(c)は1/12から1/9の間の傾きに漸近することが判明し、τのみの微分を用いた従来の手法よりも改善された制約が得られ、保存電流がスカラー原始ギャップに与える影響は数値精度の範囲で無視できることが確認された。

ABSTRACT

We constrain the spectrum of two-dimensional unitary, compact conformal field theories with central charge c > 1 using modular bootstrap. Upper bounds on the gap in the dimension of primary operators of any spin, as well as in the dimension of scalar primaries, are computed numerically as functions of the central charge using semi-definite programming. Our bounds refine those of Hellerman and Friedan-Keller, and are in some cases saturated by known CFTs. In particular, we show that unitary CFTs with c < 8 must admit relevant deformations, and that a nontrivial bound on the gap of scalar primaries exists for c < 25. We also study bounds on the dimension gap in the presence of twist gaps, bounds on the degeneracy of operators, and demonstrate how "extremal spectra" which maximize the degeneracy at the gap can be determined numerically.

研究の動機と目的

• c > 1で保存電流を伴わない2次元CFTの理解のギャップを埋めること。これらはAdS3におけるホログラフィック量子重力の記述と信じられているが、標準的なCFT手法ではアクセスできない。
• 線形関数型がモジュラー交叉方程式に作用する形で、完全なモジュラー不変性を統合することにより、モジュラーブートストラップ手法を洗練させること。
• τおよびτ̄における微分を含む線形関数型の最適化を通じて、特にスカラー原始演算子のスケーリング次元ギャップに tighter な境界を導出すること。
• 保存電流の存在が、特にスカラー原始ギャップの上界に与える影響を調査すること。
• 整数デジェネラシー制約の役割と、高 genus の設定におけるモジュラーとOPEに基づくブートストラップ手法の組み合わせの可能性を検討すること。

提案手法

• トーラス分割関数のモジュラー交叉方程式を用い、非負のデジェネラシー係数d(h, h̄)を伴うバーバロ・キャラクターの和として表現する。
• 線形関数型αをモジュラー交叉方程式E_{h,h̄}(τ, τ̄) = 0に作用させ、合計次数Nまでのτおよびτ̄における微分から構成される。
• d(h, h̄)の正値性を課し、α[E_{0,0}]とα[E_{h,h̄}]がスペクトル内のすべての(h, h̄)に対して同じ符号を持つことを確認することで、仮想的スペクトルを除外する。
• 半正定値プログラミング（SDPB）を用いて関数型を数値的に最適化し、原始演算子次元のギャップの上界を抽出する。
• τ微分のみを用いた関数型（Δ_HFK^{(N)}(c)）とτおよびτ̄微分を両方用いた関数型（Δ_mod^{(N)}(c)）の境界を比較し、N→∞への外挿を行う。
• 最適関数型のゼロを用いて、境界を達成する極限スペクトルを構築し、デジェネラシーと原始的コンテンツを予測する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中央電荷cが大きいとき、2次元CFTにおける最適モジュラー・ブートストラップ境界Δ_mod(c)の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ2 線形関数型にτおよびτ̄の両方の微分を含めることで、τ微分のみを用いた関数型と比較して境界がどのように改善されるか？
• RQ3 保存電流の原始的演算子が、スカラー原始ギャップの上界にどの程度の影響を及ぼすか？
• RQ4 最適関数型によって予測される極限スペクトルは、整数デジェネラシーを伴う一貫したCFT分割関数として実現可能か？
• RQ5 整数デジェネラシー制約はギャップ境界の洗練にどのような役割を果たし、特にcが大きいときその効果はどの程度顕著か？

主な発見

• 保存電流を伴わない2次元CFTにおける最適ギャップ境界Δ_mod(c)は、c→∞のとき、1/12から1/9の間の漸近的傾きb_modを示し、従来の境界を改善する。
• 最適境界Δ_mod(c)の傾きはcとともに単調に減少し、b_HFKに対応するτ微分のみの関数型の傾きb_HFKに漸近する。
• c < 8の範囲では、スカラー原始ギャップΔ_mod^{s=0}(c)が2未満であるため、軽いスカラー状態の抑制が顕著に現れる。
• 極限分割関数Z_ext,s=0(8,2) = (j(τ)j̄(τ))^{1/3}はc=8で境界を達成し、最適関数型のゼロに一致するデジェネラシーと原始的コンテンツを予測する。
• 数値的証拠により、ギャップ境界のN→∞およびc→∞の極限が可換でないことが示され、最適関数型に非自明な構造があることが示唆される。
• 保存電流を許容しても、c ≤ 8の範囲ではスカラーギャップ境界Δ_mod^{s=0}(c)に数値精度の範囲でほとんど影響がなく、c > 8ではわずかに弱い境界となる。