[論文レビュー] Modular Invariant Models of Leptons at Level 7

Gui-Jun Ding, Stephen F. King+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Neutrino Physics Research参考文献 53被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、168個の元をもつ有限モジュラー群 Γ7 ≅ PSL(2, Z7) に基づく、初めてのモジュラー不変なフラバー模型を提示する。この群は Σ(168) に同型である。レベル7における模型を構築し、レプトンの質量と混合角が Γ7 の非可約表現に従って変換するモジュラー形式から生じることを示し、重み2における26個の線形独立なモジュラー形式（3重項、7重項、および2つの8重項）を特定する。また、ニュートリノ質量は Weinberg 演算子またはタイプIの見通し（seesaw）機構を介して予測され、付加的なフラヴォン場を用いず、最小限の仮定で実験データと一致する。

ABSTRACT

We consider for the first time level 7 modular invariant flavour models where the lepton mixing originates from the breaking of modular symmetry and couplings responsible for lepton masses are modular forms. The latter are decomposed into irreducible multiplets of the finite modular group $Γ_7$, which is isomorphic to $PSL(2,Z_{7})$, the projective special linear group of two dimensional matrices over the finite Galois field of seven elements, containing 168 elements, sometimes written as $PSL_2(7)$ or $Σ(168)$. At weight 2, there are 26 linearly independent modular forms, organised into a triplet, a septet and two octets of $Γ_7$. A full list of modular forms up to weight 8 are provided. Assuming the absence of flavons, the simplest modular-invariant models based on $Γ_7$ are constructed, in which neutrinos gain masses via either the Weinberg operator or the type-I seesaw mechanism, and their predictions compared to experiment.

研究の動機と目的

• 有限モジュラー群 Γ7 をレベル7で用いた、初めてのモジュラー不変なフラバー模型を構築すること。Γ7 は PSL(2, Z7) に同型で、168個の元を有する。
• Γ7 について、重み8までの一連のモジュラー形式を完全に列挙し、それらが非可約表現にどのように変換するかを特定すること。
• フラヴォン場を一切用いず、レプトンの質量と混合角が、すべてモジュラー不変性とモジュラー形式の変換性に起因する模型を構築すること。
• モデルの予測を、ニュートリノの混合角および質量差の実験的データと比較し、ニュートリノ質量生成には Weinberg 演算子またはタイプIの見通し機構を用いること。

提案手法

• 論文では、位数168の非アーベル的有限群である有限モジュラー群 Γ7 ≅ PSL(2, Z7) をフラバー対称性群として用いる。
• SageMath の代数システムを用いて、レベル7および重み8までのすべての線形独立なモジュラー形式を計算し、非可約表現に分類する。重み2では3重項、7重項、および2つの8重項が得られる。
• 有効ラグランジアンは、モジュラー形式をカップリング定数として用い、フラヴォン場を一切必要とせず、Γ7 におけるモジュラー不変性を保証する。
• ニュートリノ質量は、次元5の Weinberg 演算子またはタイプIの見通し機構によって生成され、後者は重い右手型ニュートリノを含む。
• モデルの予測は、ニュートリノの混合角および質量差の実験的データと照合される。
• モジュラー形式は代数的数論およびシータ関数とデデキンドのエータ関数の関係を用いて体系的に導出され、計算的代数による制約が適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限モジュラー群 Γ7 ≅ PSL(2, Z7) を用いたレベル7における、フラヴォン場を導入しないモジュラー不変なフラバー模型を構築できるか？
• RQ2 レベル7におけるモジュラー形式の完全なスピン（重み8まで）は何か？ また、それらは Γ7 の非可約表現にどのように分解されるか？
• RQ3 このような模型が、モジュラー不変性および Weinberg 演算子またはタイプIの見通し機構のみを用いて、観測されたニュートリノ混合パターンと質量階層を再現できるか？
• RQ4 これらの模型の予測は、ニュートリノ混合角および質量差の現在の実験的データと定量的にどの程度一致するか？

主な発見

• 重み2において、Γ7 に対して26個の線形独立なモジュラー形式が存在し、それらは3重項（3）、7重項（7）、および2つの8重項（8a, 8b）に変換され、モデル構築の完全な基底を形成する。
• 重み8までのモジュラー形式の完全なリストが導出され、重み10の形式 Y(10)3a, Y(10)3b, Y(10)3c, Y(10)3̄a, Y(10)3̄b も含まれており、これらは3および3̄表現に従って変換する。
• フラヴォン場を一切用いずに、レプトンの質量と混合角がすべて Γ7 の表現に従って変換するモジュラー形式によって生成される模型が構築された。
• Weinberg 演算子およびタイプIの見通し機構の両方が、混合角および質量差の実験的データと整合するニュートリノ質量の予測をもたらす。
• モデルはニュートリノ系において、トライバマキシマルに類似した混合パターンを予測し、モジュラー対称性の破れに起因する完全なトライバマキシマル性からのずれが生じる。
• わずかな入力パラメータで予測可能なフラバー構造を実現でき、レベル7のモジュラー対称性がフラバー物理学において実現可能であることを示している。