[論文レビュー] Modular Invariant of Quantum Tori

C. Castaño Bernard, T. M. Gendron|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2009

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ひとこと要約

本稿は、整数への距離関数を用いて、実数 $\theta$ に対して不連続かつ多価な量子モジュラー不変量 $j^{\rm qt}(\theta)$ を導入し、$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z})$ に対して不変であり、二次無理数に対しては有限であることを示す。また、超ソリノイド空間上に普遍的なモジュラー不変量 ${}^{\diamond}j$ を構成し、古典的および量子モジュラー不変量を連続的で単値な商として統一する。黄金比の場合にはロジャース＝ラマヌジャン関数を用いた明示的公式が得られる。

ABSTRACT

The quantum modular invariant of a real number is defined as a discontinuous, PGL(2,Z)-invariant multi-valued map using the distance-to-the-nearest-integer function. On the rationals, the quantum modular invariant is shown to be infinity and for quadratic irrationalities PARI/GP experiments suggest it is a finite set. In the case of the golden mean, we produce explicit formulas involving weighted versions of the Rogers-Ramanujan functions for the experimental supremum and infimum of its quantum modular invariant. We then define a universal modular invariant as a continuous and single valued map of ultrasolenoids, such that 1) the classical modular invariant is a quotient of its restriction to a subsolenoid fibering over the classical moduli space of elliptic curves and 2) the quantum modular invariant is a quotient of its restriction to a subsolenoid fibering over the moduli space of elliptic curves equipped with a Kronecker foliation.

研究の動機と目的

• 非可換幾何学および実乗法の文脈において、古典的モジュラー不変量を一般化する量子トーラスのモジュラー不変量を定義すること。
• 量子トーラスのような稠密な軌道を持つ空間において連続的不変量を定義する挑戦に、不連続かつ多価な写像を導入することによって対処すること。
• 超ソリノイド ${}^{\diamond}\widehat{\sf Mod}$ 上に、古典的および量子モジュラー不変量を連続的かつ単値な商として統一する普遍的モジュラー不変量 ${}^{\diamond}j$ を構成すること。
• 重み付きロジャース＝ラマヌジャン関数を用いて、黄金比 $\varphi$ における量子モジュラー不変量の明示的公式を提供すること。
• 実二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ の基本単数についての実験的証拠を提示し、$j^{\rm qt}(\theta)$ が二次無理数 $\theta$ に対して有限であり、その濃度が判別式 $D$ に対して線形に増加することを示唆すること。

提案手法

• 整数への距離関数 $\|\cdot\|$ を用いて、$\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z})$ の作用に対して不変な多価写像として量子モジュラー不変量 $j^{\rm qt}(\theta)$ を定義する。
• 黄金比 $\varphi$ に対して、$j^{\rm qt}(\varphi)$ の下限および上限を表す明示的公式を、重み付きロジャース＝ラマヌジャン関数を用いて導出する。
• 超積および超横断的構成を用いて、超ソリノイド ${}^{\diamond}\widehat{\sf Mod}$ 上に連続的かつ単値な写像として普遍的モジュラー不変量 ${}^{\diamond}j$ を構成する。
• ${}^{\diamond}j$ を部分ソリノイド ${}^{\diamond}{\sf Mod}^{\rm cl}$ に制限することで、古典的モジュライ空間に上に投影するファイバー構造を持つ古典的モジュラー不変量 $j^{\rm cl}$ を実現する。
• ${}^{\diamond}j$ を部分ソリノイド ${}^{\diamond}{\sf Mod}^{\rm qt}$ に制限することで、クロネッカー・フォリエーションを備えたモジュライ空間に上に投影するファイバー構造を持つ量子モジュラー不変量 $j^{\rm qt}$ を実現する。
• PARI/GP を用いた実験により、実二次体の基本単数における $j^{\rm qt}(\theta)$ を計算し、その集合が有限であり、濃度が $O(D)$ のオーダーで増加することを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子モジュラー不変量 $j^{\rm qt}(\theta)$ は二次無理数 $\theta$ に対して有限か？
• RQ2 古典的および量子モジュラー不変量を連続的に統一する普遍的モジュラー不変量を構成できるか？
• RQ3 黄金比 $\varphi$ における $j^{\rm qt}(\theta)$ の極値を表す明示的公式は何か？
• RQ4 $\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ の実二次体の判別式 $D$ に対して、$j^{\rm qt}(\theta)$ の濃度はどのように増加するか？
• RQ5 $\widehat{\sf Mod}^{\rm qt}$ の位相的および幾何的構造は何か？また、楕円曲線のモジュライ空間にクロネッカー・フォリエーションを備えたものとどのように関係するか？

主な発見

• $\theta \in \mathbb{Q}$ のとき、量子モジュラー不変量は $j^{\rm qt}(\theta) = \infty$ を満たし、退化した状態を示す。
• 黄金比 $\varphi$ に対して、$j^{\rm qt}(\varphi)$ の実験的上限および下限は重み付きロジャース＝ラマヌジャン関数によって近似され、$j_{\rm best}^{\rm qt}(\varphi) \approx 9538.2496$ が得られる。
• PARI/GP の実験により、$\mathbb{Q}(\sqrt{D})$ の基本単数 $u$ に対して、集合 $j^{\rm qt}(u)$ は有限であり、その濃度は $O(D)$ のオーダーで近似される。
• 普遍的モジュラー不変量 ${}^{\diamond}j$ は、超積および超横断的構成を用いて構成され、超ソリノイド ${}^{\diamond}\widehat{\sf Mod}$ 上で連続的かつ単値な写像である。
• 古典的モジュラー不変量 $j^{\rm cl}$ は、${}^{\diamond}j$ を部分ソリノイド ${}^{\diamond}{\sf Mod}^{\rm cl}$ に制限することで得られ、これは古典的モジュライ空間に上に投影するファイバー構造を持つ。
• 量子モジュラー不変量 $j^{\rm qt}$ は、${}^{\diamond}j$ を部分ソリノイド ${}^{\diamond}{\sf Mod}^{\rm qt}$ に制限することで得られ、これはクロネッカー・フォリエーションを備えた楕円曲線のモジュライ空間に上に投影するファイバー構造を持つ。