[論文レビュー] Real Multiplication and noncommutative geometry

Yuri I. Manin|ArXiv.org|Feb 12, 2002

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 44被引用数 83

ひとこと要約

本稿では、楕円曲線における複素乗法（CM）の類似として2次元量子トーラスを用いた実乗法（RM）の非可換幾何的枠組みを提案する。モリタ理論と量子シータ関数の一般化により、量子シータ関数の関数方程式および内積を確立し、非可換幾何学を用いた実二次体に対するスターリー予想の証明への可能性を示唆する。

ABSTRACT

Classical theory of Complex Multiplication (CM) shows that all abelian extensions of a complex quadratic field $K$ are generated by the values of appropriate modular functions at the points of finite order of elliptic curves whose endomorphism rings are orders in $K$. For real quadratic fields, a similar description is not known. However, the relevant (still unproved) case of Stark conjectures ([St1]) strongly suggests that such a description must exist. In this paper we propose to use two--dimensional quantum tori corresponding to real quadratic irrationalities as a replacement of elliptic curves with complex multiplication. We discuss some basic constructions of the theory of quantum tori from the perspective of this Real Multiplication (RM) research project.

研究の動機と目的

• 楕円曲線における古典的複素乗法に類似した実乗法の非可換幾何的理論の構築を目的とする。
• 2次元量子トーラスが実二次体のアーベル拡大を生成する役割を果たすかを検討すること。
• 実二次体のゼータ関数と量子シータ関数、およびモジュラー構造を結びつけること。
• 量子トーラス表現とヘイゼンベルクモジュールを用いたスターリー予想の幾何的解釈を提供すること。
• 周期擬格子と自動的不変性を用いて、古典的シータ関数理論を非可換設定に一般化すること。

提案手法

• モリタ理論とリエッフェルの分類を用い、非可換空間間の準同型を双射型の双加法的加群の同型類として定義する。
• 楕円曲線における周期格子の非可換類似として「周期擬格子」を導入する。
• 量子シータ関数を、乗法的ホモオモルフィズムを介した自由アーベル群の作用に関して不変な、量子トーラス上の滑らかな関数として定義する。
• 複素行列における二次形式とガウス積分を用いて、量子シータ関数の内積の明示的公式を導出する。
• シフト作用素と指数的乗数を含む関数方程式を適用し、格子作用に関しての不変性を特徴付ける。
• ヘイゼンベルク群作用とシュワーツ空間係数を介して、量子シータ関数と量子トーラス表現との間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素乗法における楕円曲線の類似として、実乗法の非可換幾何的枠組みを構築できるか？
• RQ2 2次元量子トーラス上の量子シータ関数は、量子トーラス表現およびヘイゼンベルクモジュールとどのように関係するか？
• RQ3 量子シータ関数の関数方程式を用いて、実二次体のアーベル拡大を生成できるか？
• RQ4 実二次体における算術的等差数列のゼータ関数は、量子トーラスのスペクトル的およびモジュラー性質とどの程度一致するか？
• RQ5 提案された理論が、実二次体に対するスターリー予想の証明への道筋を提供できるか？

主な発見

• 量子シータ関数の自身との内積は、格子 D 上での和として与えられる：⟨f_T, f_T⟩_D = (1/√(2^N det(Im T))) ∑_{h∈D} e^{-(π/2)h^t (Im T)^{-1} h^*} e_{D,α}(h) であり、これはモジュラー型の恒等式を確立する。
• 量子シータ関数 Θ_D は、すべての g ∈ D に対して c_g e_{D,α}(g) x_g^*(Θ_D) = Θ_D を満たす関数方程式を満たす。ここで c_g = exp(3π/2 h^t (Im T)^{-1} h^*) であり、これはねじれ作用に関しての不変性を示す。
• 関数方程式には、複素指数因子 X_g(h) = -π Re(h^t (Im T)^{-1} h^*) - πi A(g,h) を介したシフト作用素 x_g^* が含まれており、ヘイゼンベルク群表現と関連する。
• 双対格子 D^! に対して、共役構造を伴う内積および関数方程式の双対版が成り立ち、非可換設定における双対性が確認される。
• この構成により、D のシュワーツ空間に係数をとる量子シータ関数が得られ、C(D,α)代数における滑らかさが保証される。
• 理論は F. ボカの量子シータ関数に関する結果を一般化し、量子トーラスを用いた高次元実乗法のための枠組みを提供する。