[論文レビュー] Modular Springer correspondence, decomposition matrices and basic sets

Daniel Juteau|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Weyl群の分解数が冪零錐上の等変 perverse sheaf の分解数として現れることを示すことにより、モジュラー Springer 対応をモジュラーに確立する。対称群の James の行と列の削除則は、冪零特異点の滑らか同値性から導出され、すべての例外的 Lie 型について明示的なモジュラー Springer 対応が提供され、小数群の完全な分解行列と基本集合が含まれる。

ABSTRACT

The Springer correspondence makes a link between the characters of a Weyl group and the geometry of the nilpotent cone of the corresponding semisimple Lie algebra. In this article, we consider a modular version of the theory, and show that the decomposition numbers of a Weyl group are particular cases of decomposition numbers for equivariant perverse sheaves on the nilpotent cone. We give some decomposition numbers which can be obtained geometrically. In the case of the symmetric group, we show that James' row and column removal rule for the symmetric group can be derived from a smooth equivalence between nilpotent singularities proved by Kraft and Procesi. We give the complete structure of the Springer and Grothendieck sheaves in the case of $SL_2$. Finally, we determine explicitly the modular Springer correspondence for exceptional types.

研究の動機と目的

• 正標数におけるモジュラー表現理論を用いた Springer 対応の拡張。
• Weyl群の分解数が、冪零錐上の等変 perverse sheaf の分解数の特別な場合であることを示すこと。
• 対称群の James の行と列の削除則を、冪零特異点の幾何的滑らか同値性から導出すること。
• すべての例外的 Lie 型について、分解行列と基本集合を含む、完全なモジュラー Springer 対応を計算すること。

提案手法

• 冪零錐上の perverse sheaf と Weyl群の表現を結びつけるために、Fourier-Deligne 変換を用いる。
• 分解定理を適用して、Springer 解体の下での定数層の直接像を単純な等変 perverse sheaf に分解する。
• 冪零軌道上の局所系統に関連する交差コhomology 複体を用いて、モジュラー Springer 対応を構成する。
• 有理数的および ℓ-滑らかさを用いて特異点を解析し、幾何的に分解数を計算する。
• Kraft と Procesi の冪零軌道閉包に関する滑らか同値性の結果を用い、対称群の分解数の組合せ的規則を導出する。
• 個別ケースの解析と既知の軌道データを用いて、すべての良い標数において例外群の明示的分解行列と基本集合を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等変 perverse sheaf としての冪零錐上の幾何学的定義を用いて、モジュラー Springer 対応をどのように定義できるか。
• RQ2 Weyl群の分解数が、等変 perverse sheaf の分解数としてどの程度現れるか。
• RQ3 対称群の James の行と列の削除則は、冪零特異点の幾何的滑らか同値性から導出可能か。
• RQ4 例外的 Lie 型における完全な分解行列と基本集合は何か。
• RQ5 例外的群のモジュラー Springer 対応は、特徴値 0 の場合とどのように異なるか。

主な発見

• 対称群の分解数は、冪零錐上の等変 perverse sheaf の分解数として幾何的に実現される。
• Kraft と Procesi が確立した冪零特異点の滑らか同値性から、対称群の James の行と列の削除則が導出される。
• $SL_2$ に対して、Springer 契約と Grothendieck 契約の完全な構造が明示的に計算され、それらが単純な perverse sheaf に分解される。
• すべての例外的型 $G_2$, $F_4$, $E_6$, $E_7$, $E_8$ に対して完全なモジュラー Springer 対応が決定され、すべての良い素数に対して分解行列と基本集合が表形式で示されている。
• Weyl群 $E_8$ のモジュラー表現理論において、84 個のデフォルトゼロのブロックが同定され、欠落しているペア $(E_8(a_7), 11111)$ が特徴値 0 のカスピダルペアのモジュラー還元に対応することが示された。
• $E_8$ のモジュラー Springer 対応には、すべての良い標数 $\ell = 2,3,5,7$ における軌道型、局所系統、および分解数の詳細なデータが含まれている。