[論文レビュー] Modularity lifting results in parallel weight one and applications to the Artin conjecture: the tamely ramified case

Payman L Kassaei, Shu Sasaki+1 more|Research Portal (King's College London)|Apr 3, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、全実体上での平行重さ1における $p$ での正則的分岐をもつガロア表現に対する、新たなモジュラリティ上昇定理を確立する。特に、[15] の結果を用いて、特殊ファイバーの各次元 0 および 1 の層の一般点の上へのチューブの和集合で定義される領域 $\Sigma$ に、有限スロープの過収束ヒルベルトモジュラー形式が自動的に解析接続可能であることを示す。この強力な解析接続結果により、$\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/F)$-表現で、射影的像が $A_5$ で $F$ で分岐しない $5$ をもつものについて、強いアーティン予想の新たなケースが得られる。主な貢献は、正則的分岐の設定においてモジュラリティ上昇を可能にする、洗練された解析接続結果である。

ABSTRACT

We extend the modularity lifting result of the arXiv:1111.2804 to allow Galois representations with some ramification at p. We also prove modularity mod 2 and 5 of certain Galois representations. We use these results to prove many new cases of the strong Artin conjecture over totally real fields in which 5 is unramified. As an ingredient of the proof, we provide a general result on the automatic analytic continuation of overconvergent p-adic Hilbert modular forms of finite slope which substantially generalizes a similar result in arXiv:1111.2804.

研究の動機と目的

• 全実体上での平行重さ1における $p$ での正則的分岐をもつガロア表現へのモジュラリティ上昇定理の一般化。
• 射影的像が $A_5$ で $F$ で分岐しない $5$ をもつ $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/F)$-表現に対する強いアーティン予想の新たなケースの確立。
• 有限スロープの過収束ヒルベルトモジュラー形式に対する鋭い解析接続結果の証明。これは、既存の領域を越えて拡張される。
• ヒルベルトモジュラー多様体の mod $p$ 特殊ファイバーにおける幾何的障害を、層およびその交線の構造を分析することで克服。
• 有限可解拡大 $L/F$ を用いて、過収束固有形式およびその関連する特徴の整合的系 $\{f_T\}, \chi_T$ を構成し、古典的形式への自動形式的降下を実現。

提案手法

• 有限スロープの過収束ヒルベルトモジュラー形式が、ヒルベルトモジュラー多様体の特殊ファイバーにおける各次元 0 および 1 の層の一般点の上へのチューブの和集合で定義される領域 $\Sigma$ に解析接続可能であることを証明する。
• アトキン＝レナー対合 $w$ を用いた貼り合わせ論法により、形式を $\Sigma$ から $\Sigma \cup w^{-1}(\Sigma)$ へ拡張し、層の交線の幾何的性質を用いて連結成分を制御する。
• 文献 [15] の結果を用いて特殊ファイバー $\overline{Y}$ の層構造を分析し、$\Sigma \cup w^{-1}(\Sigma)$ の補集合が $p$ を法として少なくとも次元 2 であることを保証する。これにより、コーエッヒャーの原理の適用が可能になる。
• 剛体解析的コーエッヒャーの原理を用いて、貼り合わせた形式を全ヒルベルトモジュラー多様体 $\mathfrak{Y}_{\rm rig}$ に拡張し、古典性を証明する。
• 有限可解拡大 $L/F$ を用いて、$\rho_{f_T} = \rho_\iota|_{\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/L)} \otimes \chi_T^{-1}$ を満たす過収束固有形式 $\{f_T\}$ および関連特徴 $\chi_T$ の系を構成する。この構成には、モジュラリティ上昇定理を用いる。
• 自動形式的降下を用いて、元のガロア表現 $\rho_\iota$ が $\mathrm{Res}_{L/\mathbb{Q}}GL_{2,L}$ 上の古典的ヒルベルトモジュラー形式から生じることを示し、したがって $\mathrm{Res}_{F/\mathbb{Q}}GL_{2,F}$ 上の古典的形式からも生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平行重さ1におけるモジュラリティ上昇定理は、全実体上での $p$ での正則的分岐をもつガロア表現へ、分岐しない場合を越えて拡張可能か？
• RQ2 有限スロープの過収束ヒルベルトモジュラー形式が解析接続可能となる最適な領域は何か？ これは、既存の結果と比較するとどうなるか？
• RQ3 解析接続および貼り合わせ技法は、全実体 $F$ の正単位群の非自明な作用に対しても適応可能か？
• RQ4 $p=5$ で正則的分岐をもち、射影的像が $A_5$ である $p$-進ガロア表現が、$5$ が分岐しない全実体上でもモジュラーであると仮定すると、これは成立するか？
• RQ5 このような表現について、$p$-進解析接続および降下技法を用いて、強いアーティン予想を検証可能か？

主な発見

• 本稿は、新たな自動的解析接続結果を確立する：任意の有限スロープの過収束ヒルベルトモジュラー形式は、ヒルベルトモジュラー多様体の特殊ファイバーにおける各次元 0 および 1 の層の一般点の上へのチューブの和集合で定義される領域 $\Sigma$ に解析接続可能である。
• この領域 $\Sigma$ は、従来の継続領域よりも著しく大きく、[15] で研究された特殊ファイバーの層構造に基づいて定義されており、より強い上昇定理の実現を可能にする。
• 著者らは、$\mathfrak{Y}_{\rm rig}$ 内で $\Sigma \cup w^{-1}(\Sigma)$ の補集合が $p$ を法として少なくとも次元 2 であることを証明した。これにより、コーエッヒャーの原理を適用でき、形式を全空間に拡張できる。
• この解析接続を用いて、射影的像が $A_5$ で $p=5$ で正則的分岐をもつ特定のガロア表現がモジュラーであることを証明した。これにより、$5$ が分岐しない全実体上での強いアーティン予想の新たなケースが得られた。
• モジュラリティ上昇定理を用いて、$5$ を法とした残余表現 $\overline{\rho}_\iota$ が、有限可解な基底拡大および降下を経て、平行重さ1の古典的ヒルベルトモジュラー形式から生じることを示した。
• 本稿は、このような表現に対応するアーティン $L$-関数が、強いアーティン予想が予言するように、正則であることを確認した。これは、表現が平行重さ1の正則的ヒルベルトカスプ形式から生じることを実現することで達成された。