[論文レビュー] Modularization of small quantum groups

Azat M. Gainutdinov, Simon Lentner+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 27

ひとこと要約

本稿では、偶数次の単位根における $R$-行列を用いた量子群拡張のモジュラー化によって、標準的な小さな量子群が因子分解可能でない場合に、因子分解可能でリボンな準ホップ代数（以下、準量子群）の大きな族を構成する。この構成は、ねじれドリンフェルト双対の普遍商を用い、元の表現カテゴリがブレード的でない場合でさえモジュラー張り合わせカテゴリを生じさせ、これらの代数の明示的生成子と関係式を提供する。

ABSTRACT

We construct a large family of ribbon quasi-Hopf algebras related to small quantum groups, with a factorizable R-matrix. Our main purpose is to obtain non-semisimple modular tensor categories for quantum groups at even roots of unity, where typically the initial representation category is not even braided. Our quasi-Hopf algebras are built from modules over the twisted Drinfeld double via a universal construction, but we also work out explicit generators and relations, and we prove that these algebras are modularizations of the quantum group extensions with R-matrices listed in [LO17]. As an application, we find one distinguished factorizable quasi-Hopf algebra for any finite root system and any root of unity of even order (resp. divisible by 4 or 6, depending on the root length). Under the same divisibility condition on a rescaled root lattice, a corresponding lattice Vertex-Operator Algebra contains a VOA W defined as the kernel of screening operators. We then conjecture that W representation categories are braided equivalent to the representation categories of the distinguished factorizable quasi-Hopf algebras. For A_1 root system, our construction specializes to the quasi-Hopf algebras in [GR17b, CGR17], where the answer is affirmative, similiary for B_n at fourth root of unity in [FGR17b, FL17].

研究の動機と目的

• 偶数次の単位根における小さな量子群が因子分解可能な $R$-行列をもたないためにモジュラー張り合わせカテゴリが形成されないという問題を解決すること。
• 量子群理論に現れる因子分解不可能なブレード的圏からモジュラー張り合わせカテゴリを体系的に構成する方法を開発すること。
• これらの新しい準量子群と、スクリーニング作用素の核として定義される頂点演算子代数（VOA）との間の関係を確立すること。
• 構成された準ホップ代数の明示的生成子と関係式を提供することで、構成可能性と計算可能性を保証すること。
• 特定の格子の整除条件の下で、これらの準量子群の表現カテゴリと、VOAから得られるある種の $\mathcal{W}$-代数の表現カテゴリとの間のブレード的同値性を予想すること。

提案手法

• ニコルズ代数と群代数のねじれドリンフェルト双対の普遍商を用いて、新たな準ホップ代数を構成する普遍的構成法を用いる。
• LO17で分類された、$R$-行列をもつ量子群拡張から生じる因子分解不可能なブレード的テンソル圏に対して、モジュラー化を適用する。
• 元の代数の普遍 $R$-行列とドリンフェルト双対構造を用いて、得られた準量子群の $R$-行列を明示的に構成する。
• 非自明なアソシエータをもつブレード的モノイダル圏におけるイータ-ドリンフェルト加群とニコルズ代数の理論を用いて、初期データを構築する。
• 初期ホップ代数の表現カテゴリにおけるコエンド構成とブレード的ホップ代数構造を用いて、モジュラー化関手を定義する。
• BT04 に従い、ブレード的設定下で定義される写像 $Q: H^* \to H$ の全単射性を用いて、得られた準ホップ代数の因子分解可能性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次の単位根における小さな量子群に対して、標準的 $R$-行列が因子分解可能でないため、モジュラー張り合わせカテゴリを構成できるか？
• RQ2 因子分解不可能な量子群拡張に $R$-行列をもつ場合、モジュラー化によって得られる因子分解可能でリボンな準ホップ代数の明示的構造は何か？
• RQ3 これらの新しい準量子群の表現カテゴリは、VOAにおけるスクリーニング作用素の核として得られる $\mathcal{W}$-代数の表現カテゴリとどのように関係するか？
• RQ4 根系と単位根の位数に関して、どのような条件下で特徴的な因子分解可能準ホップ代数が存在するか？
• RQ5 与えられた根系と単位根に対して、構成された準量子群の表現カテゴリと $\mathcal{W}$-代数のカテゴリとの間で、ブレード的同値性が成立するか？

主な発見

• ねじれドリンフェルト双対の商として得られる、因子分解可能でリボンな準ホップ代数の大きな族が構成され、元の量子群拡張に因子分解可能な $R$-行列が存在しない場合でもモジュラー張り合わせカテゴリを提供する。
• 任意の有限根系と、根長に応じて4または6で割り切れる偶数次の単位根に対して、特徴的な因子分解可能準ホップ代数を明示的に構成する。
• 構成された準量子群の表現カテゴリが、LO17で分類された $R$-行列をもつ量子群拡張の表現カテゴリのモジュラー化であることが示された。
• 既知の例を一般化する：$A_1$ の場合、[GR17b, CGR17] で得られた準量子群を再現し、$B_n$ で4乗根の単位根の場合、[FGR17b, FL17] の結果と一致する。
• スケーリングされた根格子の整除条件の下で、$\mathcal{W}$-代数（スクリーニング作用素の核）の表現カテゴリと、特徴的な準量子群代数の表現カテゴリとの間でブレード的同値性が成り立つと予想される。
• 準量子代数の明示的生成子と関係式が導出され、具体的な計算と構造の検証が可能になる。