[論文レビュー] Moduli of Admissible Pairs for Arbitrary Dimension, I: Resolution

Надежда Владимировна Тимофеева|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、特異的でない射影的多様体上の局所自由な層への、標準的解体の高次元一般化を導入し、特別に修正された射影的スキーム上での局所自由層を構成する。主な貢献は、繰り返しのブLOW-UPと帰納的トーショントリムを用いた修正されたトーショントリム解体手順であり、この手順により、任意次元においてKobayashi–Hitchin対応を保つベクトルバンドルのモジュライ空間のコンパクト化が可能になる。

ABSTRACT

A procedure resolving a torsion-free coherent sheaf on a nonsingular $N$-dimensional projective algebraic variety into a locally free sheaf on a projective scheme of certain class is proposed. This is a higher-dimensional analog of the resolution (called the standard resolution in previous works of the author) of coherent sheaves on a surface. The method is applicable to all existing flat families of torsion-free sheaves including those who does not contain locally free sheaves. Bibliography: 23 items Keywords: moduli space, algebraic coherent sheaves, admissible pairs, vector bundles, nonsingular algebraic variety, projective algebraic variety, moduli of vector bundles, compactification of moduli.

研究の動機と目的

• 表面における連続層の標準的解体の高次元アナログを構築し、任意次元に拡張すること。
• 非局所自由層を含まない、安定ベクトルバンドルのモジュライをコンパクト化する、半安定適切ペアのモジュライスキームを構築すること。
• 適切なスキーム上の局所自由層を用いることで、高次元においてKobayashi–Hitchin対応を保つこと。
• 古典的な非局所自由層コンパクト化を避ける、代数的幾何的モジュライ空間のコンパクト化のフレームワークを提供すること。

提案手法

• 特異的でない射影的多様体の繰り返しのブLOW-UPを通じた解体手順を提案し、主成分と追加成分を有する新しい射影的スキームを構成する。
• 正の余次元をもつ素イデアルに基づく帰納的条件と、成分間での切断の拡張を用いて、連続層の引き戻しにおける修正されたトーショントリム部分層を定義する。
• 商層 $\widetilde{E}_i = (\sigma_1 \circ \cdots \circ \sigma_i)^*E / \mathrm{tors}$ を構成し、ここで $\mathrm{tors}$ は修正されたトーショントリムを表す。これにより、得られる層は修正されたトーショントリム自由となる。
• 例外的除法上での層の挙動を解析するため、平坦な準同型 $\delta_i: S_i^{\text{add}} \to D_i$ を用い、評価写像 $\mathrm{ev}_i^0$ がモノモルフィズムであることを保証する。
• ブLOW-アップの系列 $\sigma_i = \sigma_i^0 \circ \delta_i$ に対して、帰納的に構成を適用し、各段階で修正されたトーショントリム自由性を維持する。
• 直接像 $\delta_{i*}\widetilde{E}_i$ が修正されたトーショントリム自由であることを確立し、基底変換のもとでも解体が適切に保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトルバンドルの特異的でない射影的多様体上での、表面における連続層の標準的解体を、任意次元に一般化する方法は何か？
• RQ2 非局所自由層を導入せずに、局所自由解体を可能にする高次元における適切なトーショントリムの概念は何か？
• RQ3 非局所自由連続層を含まない、半安定ベクトルバンドルのコンパクトモジュライ空間を、適切なスキーム上の局所自由層を用いて構築できるか？
• RQ4 修正されたトーショントリム自由解体は、高次元においてもKobayashi–Hitchin対応を保つのか？
• RQ5 繰り返しのブLOW-アップと成分別トーショントリム条件を通じて、解体の構造を帰納的にどのように制御できるか？

主な発見

• 修正されたトーショントリム部分層 $\mathrm{tors}$ は、ブLOW-アップスキームの各成分に沿って帰納的に定義され、切断の拡張と素イデアルの消滅子と整合性を持つ。
• 解体プロセスの各段階で、層 $\widetilde{E}_i = (\sigma_1 \circ \cdots \circ \sigma_i)^*E / \mathrm{tors}$ は修正されたトーショントリム自由である。
• 評価写像 $\mathrm{ev}_i^0: \delta_{i*}\widetilde{E}_i \to \sigma^{0*}_i\widetilde{E}_{i-1}/\mathrm{tors}$ はモノモルフィズムであり、基底変換のもとでも単射性と安定性が保証される。
• 直接像 $\delta_{i*}\widetilde{E}_i$ は修正されたトーショントリム自由であり、これにより解体が最終的な商においても適切に定義され、局所自由であることが保証される。
• この構成により、射影的スキーム $\widetilde{S}$ 上の局所自由層 $\widetilde{E}$ が得られ、これは次元2における標準的解体の高次元アナログである。
• 解体プロセスにより、適切ペア $((\widetilde{S}, \widetilde{L}), \widetilde{E})$ のモジュライ空間がGieseker–Maruyamaモジュライスキームと同型となり、Kobayashi–Hitchin対応が保たれる。