[論文レビュー] Flags of sheaves, quivers and symmetric polynomials

Giulio Bonelli, Nadir Fasola+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ネストドインスタントンスクイバーの安定表現のモジュライ空間と、$\mathbb{P}^2$ 上のフレーム付き torsion-free 好まない層のフラッグの間の同型を確立し、$\mathbb{C}^2$ 上のネストドヒルバートスキーム（ランク1）および高ランク層のモジュライ空間に対する ADHM に類似した構成を提供する。等置性局在法を用いて、特に仮想 $\chi_{-y}$-ジェネリックを計算し、ランク1の場合、生成関数が等置性パラメータにおける修正マクドナルド多項式と一致することを示す。

ABSTRACT

We study the representation theory of the nested instantons quiver presented in [1], which describes a particular class of surface defects in four-dimensional supersymmetric gauge theories. We show that the moduli space of its stable representations provides an ADHM-like construction for nested Hilbert schemes of points on $\mathbb C^2$, for rank one, and for the moduli space of flags of framed torsion-free sheaves on $\mathbb P^2$, for higher rank. We introduce a natural torus action on this moduli space and use equivariant localization to compute some of its (virtual) topological invariants, including the case of compact toric surfaces. We conjecture that the generating function of holomorphic Euler characteristics for rank one is given in terms of polynomials in the equivariant weights, which, for specific numerical types, coincide with (modified) Macdonald polynomials.

研究の動機と目的

• ネストドインスタントンスクイバーの安定表現のモジュライ空間と、$\mathbb{P}^2$ 上のフレーム付き torsion-free 好まない層のフラッグの間の幾何的対応を確立すること。
• ネストドヒルバートスキームの点のモジュライ空間および高ランク層のモジュライ空間に対する ADHM 型の構成を提供すること。
• トーリック多様体上の仮想トポロジカル不変量（特に仮想 $\chi_{-y}$-ジェネリック）を等置性局在法を用いて計算すること。
• ランク1の場合、ホロモルフィックオイラー特性の生成関数が対称多項式、特に修正マクドナルド多項式で表現可能であると予想すること。

提案手法

• フレーム付きノードを1つ持つネストドインスタントンスクイバーの安定表現のモジュライ空間 $\mathcal{N}(r,\mathbb{n})$ を構成し、自然な $\mathbb{T} = T \times (\mathbb{C}^*)^r$ トーラス作用を備える。
• $\mathcal{N}(r,\mathbb{n})$ が仮想的に滑らかな準射影的多様体であり、完全な障害理論を備え、滑らかな射影的多様体 $\mathcal{M}(r,\mathbb{n})$ に埋め込まれることを証明する。
• $\mathcal{N}(r,\mathbb{n})$ と $\mathbb{P}^2$ 上のフレーム付き torsion-free 層のフラッグのモジュライ空間 $\mathcal{F}(r,\boldsymbol{\gamma})$ の間の同型を確立し、ランク1の場合の一般化 $\mathcal{N}(1,\mathbb{n}) \simeq \operatorname{Hilb}^{\hat{\mathbb{n}}}(\mathbb{C}^2)$ を得る。
• 等置性局在法を適用し、$\mathbb{P}^2$ や $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ のようなコンパクトなトーリック多様体上で仮想不変量（仮想 $\chi_{-y}$-ジェネリックや楕円的ジェネリック）を計算する。
• トーリック多様体の異なるパッチ上で等置性パラメータ $\mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2$ の逐次極限を用いて仮想 $\chi_{-y}$-ジェネリックの生成関数を分析する。
• 対称関数を用いた明示的表現を導出し、$|\mu_0|$, $M_0$, $s(\mu_i, \mu_j)$ に関連する $y$-累乗を含む。これにより、マクドナルド多項式との予想される関係が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネストドインスタントンスクイバーの安定表現のモジュライ空間は、$\mathbb{P}^2$ 上のフレーム付き torsion-free 好まない層のフラッグとどのように関係しているか？
• RQ2 このクイバーのモジュライ空間を用いて、$\mathbb{C}^2$ 上のネストドヒルバートスキームの点に対する ADHM に類似した構成を定式化できるか？
• RQ3 コンパクトなトーリック多様体上でのモジュライ空間の仮想不変量（特に $\chi_{-y}$-ジェネリック）の構造はいかなるものか？
• RQ4 ランク1の場合、仮想 $\chi_{-y}$-ジェネリックの生成関数は、等置性パラメータにおける修正マクドナルド多項式と一致するか？
• RQ5 異なるトーリックパッチ上でパラメータ $\mathfrak{q}_1, \mathfrak{q}_2$ の等置性極限が仮想不変量の計算にどのように影響するか？

主な発見

• ネストドインスタントンスクイバーの安定表現のモジュライ空間 $\mathcal{N}(1,\mathbb{n})$ は、ネストドヒルバートスキーム $\operatorname{Hilb}^{\hat{\mathbb{n}}}(\mathbb{C}^2)$ に同型であり、クイバー表現とヒルバートスキームとの間の直接的な幾何的リンクを確立する。
• ランク1の場合、$\operatorname{Hilb}^{\hat{\mathbb{n}}}(\mathbb{P}^2)$ の仮想 $\chi_{-y}$-ジェネリックの生成関数は、分割の和の積として表され、$y$-累乗は $|\mu_0|$, $M_0$, およびスケールシュール関数 $s(\mu_i, \mu_j)$ に依存する。式 (4.14) に示す。
• $\mathbb{P}^2$ 上では、仮想 $\chi_{-y}$-ジェネリックの生成関数は4つの項の積として与えられ、それぞれがトーリックパッチに対応する。極限により、$y^{| u_0| - M_0}$ や $y^{| u_0| - |\nu_0 \setminus \nu_1|}$ のような $y$-累乗が得られ、式 (4.14) に示す。
• $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上では、生成関数も同様に4つのパッチ寄与に分解され、極限により $y^{\vert\nu_0\vert - M_0}$, $y^{\vert\nu_0\vert}$, $y^{\vert\nu_0\vert - |\nu_0 \setminus \nu_1| + M_0}$ のような $y$-累乗が得られる。式 (4.19) に示す。
• $\mathbb{P}^2$ および $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ 上の仮想 $\chi_{-y}$-ジェネリックの生成関数は、すべての項が分割の組合せ論およびスケールシュール関数に結びついた $y$-指数の積に分解されることを示した。
• 著者らは、ランク1の場合、仮想ホロモルフィックオイラー特性の生成関数が等置性パラメータの多項式であり、特定の数値的型では修正マクドナルド多項式に還元されることを予想している。