[論文レビュー] Moduli of Continuity of Quasiregular Mappings

Vesna Manojlović|ArXiv.org|Aug 24, 2008

Meromorphic and Entire Functions参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本博士論文は、ユークリッド空間における準正則および調和的準正則写像の連続性モジュラスを調査し、境界から領域の内部へとリプシッツ連続性が保存されることを確立している。主な結果として、次元2では、このような写像が準双曲的距離に関して双リプシッツ的であることが示され、幾何函数論と準正則写像の距離的性質が結びつけられている。

ABSTRACT

This thesis consists of Chapters 1 and 2. The main results are contained in the two preprints and two published papers, listed below. Chapter 1 deals with conformal invariants in the euclidean space Rn; n >= 2; and their interrelation. In particular, conformally invariant metrics and balls of the respective metric spaces are studied. Another theme in Chapter 1 is the study of quasiconformal maps with identity boundary values in two diferent cases, the unit ball and the whole space minus two points. These results are based on the two preprints: R. Klen, V. Manojlovic and M. Vuorinen: Distortion of two point normalized quasiconformal mappings, arXiv:0808.1219[math.CV], 13 pp., V. Manojlovic and M. Vuorinen: On quasiconformal maps with identity boundary values, arXiv:0807.4418[math.CV], 16 pp. Chapter 2 deals with harmonic quasiregular maps. Topics studied are: Preservation of modulus of continuity, in particular Lipschitz continuity, from the boundary to the interior of domain in case of harmonic quasiregular maps and quasiisometry property of harmonic quasiconformal maps. Chapter 2 is based mainly on the two published papers: M. Arsenovic, V. Kojic and M. Mateljevic: On Lipschitz continuity of harmonic quasiregular maps on the unit ball in Rn., Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 33 (2008), no. 1, 315-318. V. Kojic and M. Pavlovic: Subharmonicity of jfjp for quasiregular harmonic functions, with applications, J. Math. Anal. Appl. 342 (2008) 742-746

研究の動機と目的

• コンフォーマル不変な計量、たとえばλおよびμ計量を用いて、準正則写像の連続性モジュラスを分析すること。
• 単位球および2点を除いたR^nにおける恒等境界値をもつ準正則写像の挙動を調査すること。
• 調和的準正則写像を研究し、境界でのリプシッツ連続性が領域の内部へと拡張されるかどうかを特定すること。
• 特に次元2において、調和的準正則写像が準双曲的距離に関して準等長写像の性質を示すことを確立すること。
• 準双曲的距離に関して双リプシッツ性が高次元（n ≥ 3）へと拡張可能かどうかを検討すること。

提案手法

• グローツシュおよびタイクミュラーの極値問題を用いて、R^nの領域上に計量λ_G(x,y)^(1−n)およびμ_G(x,y)を定義し、これらが計量であることが示された。
• 曲線族とモジュラスM(Γ)の理論を用いて、極値リング領域を分析し、コンフォーマル不変計量を導出する。
• 次元2における準正則写像の表現f(z) = g(z) + h̄(z)（gおよびhは正則）を用い、ヤコビアンJ_fおよびその対数の下調和性を研究する。
• J_fの平均値との関係を表す量α_f(z) = exp(1/n ∫_{B_z} log J_f dm)を用い、調和および下調和函数の理論を活用して、クオンタイズドコンフォーマル歪みと関連付ける。
• 一般化されたコベ・アーフォルス・ボアリングの不等式を適用し、α_f(z)を境界からの距離の観点から下界および上界で評価する。
• ||f′(z)||の点ごとの推定式を、d(f(z), ∂D′)/d(z, ∂D)の形で導出し、これにより準双曲的距離における双リプシッツ制御が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和的準正則写像が境界から領域の内部へ連続性モジュラスを保存するのはどのような条件下か？
• RQ2 次元n ≥ 3における調和的準正則写像について、準双曲的距離における双リプシッツ性は成立するか？
• RQ3 R^nにおける計量λ_Gおよびμ_Gは、他のコンフォーマル不変計量とどのように関係しているか？
• RQ4 R^n \ {0}および単位球において、恒等境界値をもつ準正則写像の挙動はいかなるものか？
• RQ5 点ごとの推定式||f′(z)|| ≍ d(f(z), ∂D′)/d(z, ∂D)は、Kおよびnにのみ依存する一様定数を用いて高次元へと拡張可能か？

主な発見

• 次元2における調和的準正則写像について、境界での連続性モジュラスは内部へと保存され、∂Dでのリプシッツ連続性がD̄全体で成立することを示唆する。
• 次元2では、任意の調和的準正則写像fは、準双曲的距離に関して双リプシッツ的である。すなわち、k_{D′}(f(z₁), f(z₂)) ≍ k_D(z₁, z₂)が成り立つ。
• 次元2における調和的準正則写像について、点ごとの推定式||f′(z)|| ≍ d(f(z), ∂D′)/d(z, ∂D)が成り立ち、定数は歪みKにのみ依存する。
• ヤコビアンの対数log(1/J_f)は下調和的であり、これにより平均値不等式を適用し、α_f(z)の下界を導出できる。この結果、√J_f(z) ≥ α_f(z)という重要な推定が得られる。
• 量α_f(z)は、二重の不等式α_f(z) ≍ d(f(z), ∂D′)/d(z, ∂D)を満たし、これが準双曲的距離における双リプシッツ制御を示唆する。
• 高次元への結果の拡張は、まだ予想的であり、未解決問題として提示されている：定理2.4.1はn ≥ 3においても成り立つか？