[論文レビュー] Moduli of curves with nonspecial divisors and relative moduli of $A_\infty$-structures

Alexander Polishchuk|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、滑らかでない、十分に正の線分束を備えた genus $g$ の曲線と $n \geq g$ 個の標識点（接ベクトルを備えたもの）のモジュライスタックと、Grassmannian $G(n-g,n)$ 上の相対的 $A_\infty$-構造のモジュライ空間との間に同型を確立し、弱い特徴的条件のもとで前者が $G(n-g,n)$ に affine であることを示している。主な結果は、Krichever 写像と変形理論を通じて、曲線のモジュライと $A_\infty$-変形を特定するものである。

ABSTRACT

In this paper for each $n\ge g\ge 0$ we consider the moduli stack $\widetilde{\mathcal U}^{ns}_{g,n}$ of curves $(C,p_1,\ldots,p_n,v_1,\ldots,v_n)$ of arithmetic genus $g$ with $n$ smooth marked points $p_i$ and nonzero tangent vectors $v_i$ at them, such that the divisor $p_1+\ldots+p_n$ is nonspecial (has no $h^1$) and ample. With some mild restrictions on the characteristic we show that it is a scheme, affine over the Grassmannian $G(n-g,n)$. We also construct an isomorphism of $\widetilde{\mathcal U}^{ns}_{g,n}$ with a certain relative moduli of $A_\infty$-structures (up to an equivalence) over a family of graded associative algebras parametrized by $G(n-g,n)$.

研究の動機と目的

• 曲線に $n = g$ の場合から $n \geq g$ の場合へと $A_\infty$-構造対応を一般化すること。
• 滑らかでない、十分に正の線分束を備えた曲線と接ベクトルを備えたモジュライスタック $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ が、指定された特徴的条件下で Grassmannian $G(n-g,n)$ に affine であるスキームであることを示すこと。
• Krichever 写像と変形理論を用いて、$\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ と $G(n-g,n)$ 上の相対的 $A_\infty$-構造のモジュライ空間との間に同型を構成すること。

提案手法

• 滑らかでない、十分に正の線分束を備え、非ゼロの接ベクトルを備えた genus $g$ の曲線と $n$ 個の標識点を持つモジュライスタック $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ を定義する。ここで、線分束 $D = p_1 + \cdots + p_n$ は滑らかでないかつ十分に正である。
• 各曲線に対して、$H^0(C, \mathcal{O}_C(D)/\mathcal{O}_C) \to H^1(C, \mathcal{O}_C)$ の核を対応させることで、$\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \to G(n-g,n)$ なる準同型 $\pi$ を構成する。この核は接ベクトルによって自明化される。
• Sato Grassmannian 内の部分集合 $ASG^{ns}$ と形式的変数変換の群 $\mathfrak{G}$ を用いて、Krichever 写像により $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \simeq ASG^{ns}/{\mathfrak{G}}$ を同定する。
• 曲線のモジュライと同型である相対的 $A_\infty$-構造のモジュライは、$G = \mathcal{O}_C \oplus \bigoplus \mathcal{O}_{p_i}$ に対する Ext-代数 $\operatorname{Ext}^*(G,G)$ を用いて定義され、変形理論と接空間解析を用いて $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ と同型であることを示す。
• $\pi$ が有限型の affine 準同型であり、$A_\infty$-構造の変形函手が滑らかで、曲線モジュライのそれと同型であることを、完備化と局所同型基準を用いて示す。
• 特徴的条件に応じて、$\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/2])$、$\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/6])$、または $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 上で同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかでない、十分に正の線分束を備えた $n \geq g$ 個の標識点を備えた曲線のモジュライスタック $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ はスキームであり、Grassmannian $G(n-g,n)$ に affine であるか？
• RQ2 Krichever 写像と変形理論を用いて、このような曲線のモジュライは、$G(n-g,n)$ 上の相対的 $A_\infty$-構造のモジュライ空間と同一視可能か？
• RQ3 形式的変数変換の群 $\mathfrak{G}$ が Sato Grassmannian $ASG^{ns}$ に自由に作用するか？また、その商は $\operatorname{Spec}(\mathbb{Q})$ 上で $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ と同型であるか？
• RQ4 どのような特徴的条件下で、写像 $\pi: \widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \to G(n-g,n)$ が有限型の affine であり、相対的 $A_\infty$-モジュライが曲線モジュライと同型であるか？
• RQ5 $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 上で $n \geq g+2$ の場合に、曲線モジュライと相対的 $A_\infty$-モジュライの同型を拡張できるか？

主な発見

• 特徴的条件として $n \geq g \geq 1$、$n \geq 2$ かつ $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/2])$、または $n = g = 1$ で $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}[1/6])$、または $g = 0$、$n \geq 2$ で $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ の下で、モジュライスタック $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ は、Grassmannian $G(n-g,n)$ に有限型の affine スキームとして同型である。
• $\operatorname{Spec}(\mathbb{Q})$ 上で、Krichever 写像により $\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \simeq ASG^{ns}/{\mathfrak{G}}$ が成り立ち、ここで $ASG^{ns}$ は Sato Grassmannian の特定の次元および横断性条件を満たす部分代数をパラメトライズする開部分集合である。
• $\pi: \widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n} \to G(n-g,n)$ は有限型の affine 準同型であり、各標準的開胞体 $U_S \subset G(n-g,n)$ における逆像は、$|S| = g$ である $\mathbf{a}_S$（$S$ の要素に対応する位置に 1 を持つ）に対応するモジュライスキーム $\widetilde{\mathcal{U}}_{g,n}({\bf a}_S)$ に一致する。
• $G = \mathcal{O}_C \oplus \bigoplus \mathcal{O}_{p_i}$ に対する Ext-代数 $\operatorname{Ext}^*(G,G)$ を用いて定義される $G(n-g,n)$ 上の相対的 $A_\infty$-構造のモジュライは、$\widetilde{\mathcal{U}}^{ns}_{g,n}$ と同型であり、この同型は ${\mathbb{G}}_m^n$-作用と整合する。
• $A_\infty$-構造の変形函手は滑らかで、曲線モジュライのそれと同型であり、写像 $\operatorname{Def}(C_W) \to \widetilde{\operatorname{Def}}(E_W)$ はエタールであり、したがって同型である。これは相対的モジュライが形式的に滑らかであることを示唆する。
• $n \geq g+2$ の場合、開部分集合 $U \subset G(n-g,n)$（座標超平面の補集合）上で、$\pi^{-1}(U)$ と相対的 $A_\infty$-モジュライの同型は、変形理論と完備化の議論に基づき、$\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$ 上でも成立すると予想される。