[論文レビュー] Moduli of Flat Conformal Structures of Hyperbolic Type

Graham Smith|ArXiv.org|Apr 4, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、双曲的型の平坦な共形構造（FCS）に関連する標準的双曲的エンドの有限境界近傍を満たす、一パラメータ族の滑らかで凸な超曲面を、双曲空間 $$\mathbb{H}^{n+1}$$ において定義する。これらの超曲面は、特殊ラグランジュ曲率が一定である。Kulkarni-Pinkall計量と特殊ラグランジュ曲率作用素 $R_\theta$ を用いて、これらの超曲面が境界を滑らかに近似し、双曲的エンドがFCSに連続的に依存することを確立する。

ABSTRACT

To each flat conformal structure (FCS) of hyperbolic type in the sense of Kulkarni-Pinkall, we associate, for all $θ\in[(n-1)π/2,nπ/2[$ and for all $r>\opTan(θ/n)$ a unique immersed hypersurface $Σ_{r,θ}=(M,i_{r,θ})$ in $\Bbb{H}^{n+1}$ of constant $θ$-special Lagrangian curvature equal to $r$. We show that these hypersurfaces smoothly approximate the boundary of the canonical hyperbolic end associated to the FCS by Kulkarni and Pinkall and thus obtain results concerning the continuous dependance of the hyperbolic end and of the Kulkarni-Pinkall metric on the flat conformal structure.

研究の動機と目的

• 双曲的型の平坦な共形構造（FCS）に関連する双曲的エンドの有限境界近傍を満たす、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内の滑らかで凸な超曲面の族を構成すること。
• 双曲的エンドおよびKulkarni-Pinkall計量が、基礎となるFCSに連続的に依存することを確立すること。
• 特殊ラグランジュ曲率を用いて、労ブルの3次元結果（幾何的有限な双曲多様体のモジュライ空間のパrametrization）を高次元に一般化すること。
• FCSの発展写像およびホロノミーデータを、双曲空間内の曲率が制御された埋め込まれた超曲面を介して幾何的実現すること。

提案手法

• 各 $\theta \in [(n-1)\pi/2, n\pi/2[$ および $r > \tan(\theta/n)$ に対して、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内の埋め込み超曲面 $\Sigma_{r,\theta} = (M, i_{r,\theta})$ を、一定の $\theta$-特殊ラグランジュ曲率 $r$ を持つように構成する。
• 単位法線 bundle を介して定義される特殊ラグランジュ曲率作用素 $R_\theta$ を用いて、曲率条件を特徴付ける。
• FCS に自然に付随する完全で $C^{1,1}$ の計量 $g_{KP}$ を用い、その断面曲率が $[-1,1]$ の範囲にあることを示す。
• 幾何的最大原理を適用し、Nielsen核 $K$ の境界からの距離関数の等高線と $\Sigma_r$ を比較することで、一様な距離推定を得る。
• 発展写像 $\varphi: \tilde{M} \to S^n$ とホロノミー $\theta: \pi_1(M) \to \mathrm{Conf}(S^n)$ を用いて、FCS 構造を $\mathbb{H}^{n+1}$ に持ち上げ、等変性と凸性を保証する。
• 族 $\Sigma_r$ が双曲的エンド $\mathcal{E}$ 全体を foliate しており、$r \to \tan(\theta/n)^+$ のとき、理想境界 $\partial_\infty \mathcal{E}$ にハウスドルフ位相で収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的型の平坦な共形構造を有するコンpakto $n$-多様体 $M$ に対して、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内で滑らかで凸な超曲面の連続族を、その双曲的エンドの有限境界近傍を満たすように構成できるか？
• RQ2 特殊ラグランジュ曲率 $R_\theta$ は、これらの超曲面の幾何構造および境界への収束をどのように制御するか？
• RQ3 Kulkarni-Pinkall計量と超曲面 $\Sigma_r$ の誘導幾何学的構造との関係は何か？
• RQ4 超曲面 $\Sigma_r$ による双曲的エンドのfoliationは、特異的で階層的な境界 $i_{KP}(M)$ の滑らか化を提供するか？
• RQ5 FCS の発展写像が全射でない場合、どのような条件下に成立し、幾何的結果は何か？

主な発見

• コンパクトな $n$-多様体 $M$ 上の双曲的型の平坦な共形構造に対して、各 $\theta \in [(n-1)\pi/2, n\pi/2[$ および $r > \tan(\theta/n)$ に対して、$\mathbb{H}^{n+1}$ 内に一意に定まる埋め込み超曲面 $\Sigma_{r,\theta} \subset \mathbb{H}^{n+1}$ が、一定の $\theta$-特殊ラグランジュ曲率 $r$ を持つ。
• 族 $\{\Sigma_r\}_{r > \tan(\theta/n)}$ は、FCS に関連する標準的双曲的エンド $\mathcal{E}$ の有限境界 $\partial_0\mathcal{E}$ の近傍を滑らかに foliate する。
• $r \to \tan(\theta/n)^+$ のとき、超曲面 $\Sigma_r$ はハウスドルフ位相で理想境界 $\partial_\infty\mathcal{E}$ に収束する。
• foliation $\{\Sigma_r\}$ は、有限境界の近傍にとどまらず、双曲的エンド $\mathcal{E}$ 全体を覆う。
• 曲率パラメータ $r$ を通じて、双曲的エンドおよびKulkarni-Pinkall計量が基礎となるFCSに連続的に依存することを構成によって確立した。
• Kamishimaの結果の証明を再構成し、閉じた共形的平坦多様体の発展写像が全射でない場合、それは被覆写像であり、$L(\Gamma) = \partial \varphi(\tilde{M})$ であることを示した。