[論文レビュー] Moduli of Hyperelliptic Curves and Multiple Dirichlet Series

Adrian Diaconu, Vicenţiu Pașol|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

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ひとこと要約

本稿は、関数方程式群とは独立した公理を課すことにより、二次のディリクレL関数の積に関連する特徴的な多重ゼータ関数を構成する。この系列のp部は、可解な二重被覆のモジュライ空間に関連する再帰的関係を満たしており、ハイパーオービックモジュライ空間 H_g[2] のℓ進コホロロジーにおけるフロベニウス作用素の固有値を通じて、係数を帰納的に表現可能である。これにより、デリーニの重み理論を介して、数論と代数的幾何学が結びつけられる。

ABSTRACT

In this paper we provide an explicit construction of a $distinctive$ multiple Dirichlet series associated to products of quadratic Dirichlet L-series, which we believe should be tightly connected to a generalized metaplectic Whittaker function on the double cover of a Kac-Moody group. To do so, we first impose a set of axioms, independent of any group of functional equations, which the aforementioned object should satisfy. As a consequence, we deduce that the coefficients of the $p$-parts of the multiple Dirichlet series satisfy certain recurrence relations. These relations lead to a family of identities, which turns out to be $encoded$ in the combinatorial structure of certain moduli spaces of admissible double covers. Finally, via this crucial connection, we apply Deligne's theory of weights to express inductively the coefficients of the $p$-parts in terms of the eigenvalues of Frobenius acting on the $\ell$-adic étale cohomology of local systems on the moduli $\mathscr{H}_{g}[2]$ of hyperelliptic curves of genus $g$ with level 2 structure.

研究の動機と目的

• 関数方程式群とは独立して、二次のディリクレL関数の積に関連する多重ゼータ関数を構成すること。
• 公理的制約から導かれる再帰的関係によって、系列のp部を同定すること。
• 系列の係数と、ハイパーオービック曲線のレベル2構造を持つモジュライ空間 H_g[2] 上の局所系統のエタールコホロロジーとの深い関係を確立すること。
• デリーニの重み理論を活用して、フロベニウス作用素のℓ進エタールコホロロジーにおける固有値から生じるq-ウェイリ数を用いて、係数を帰納的に表現すること。

提案手法

• 関数方程式群とは独立した、多重ゼータ関数に課す一組の公理を定める。
• これらの公理から、系列のp部の係数に関する再帰的関係を導出する。
• 再帰的関係が、可解な二重被覆のモジュライ空間の組合せ的構造に埋め込まれていることを特定する。
• デリーニの重み理論を適用し、係数が H_g[2] 上の局所系統のℓ進エタールコホロロジーに作用するフロベニウス作用素の固有値と関係することを示す。
• 再帰的構造とモジュライ空間の関係を用いて、p部の係数をq-ウェイリ数を用いて帰納的に表現する。
• 生成関数と留数計算を用いて、特にモーメント和 M_3(r;q) および M_4(r;q) の文脈で特定の係数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数方程式群に依存せずに、二次L関数の積に関連する多重ゼータ関数をどのように構成できるか？
• RQ2 このような系列のp部係数が満たす再帰的関係の背後にある、組合せ的または幾何的構造は何か？
• RQ3 系列のp部係数は、ハイパーオービック曲線のレベル2構造を持つモジュライ空間 H_g[2] 上の局所系統のエタールコホロロジーとどのように関係しているか？
• RQ4 デリーニの重み理論を用いて、フロベニウス作用素の固有値から生じるq-ウェイリ数を用いて、係数を帰納的に表現できるか？
• RQ5 関数体設定におけるモーメント和 M_3(r;q) と M_4(r;q) の正確な関係は何か？そして、これによりどのような深いコホロロジー的構造が反映されるか？

主な発見

• 系列のp部の係数は、q-ウェイリ数を用いて帰納的に表現可能であり、これらは局所系統のℓ進エタールコホロロジーに作用するフロベニウス作用素の固有値に由来する。
• p部係数を支配する再帰的関係は、可解な二重被覆のモジュライ空間の組合せ的構造に埋め込まれている。
• 偶数 r に対して M_4(r;q) = q·M_3(r;q) が、平方自由多項式への群作用と楕円曲線上のモーメント和との比較によって証明される。
• p部の生成関数は、|κ| = r₁(κ) + 2r₂(κ) を満たす条件の下で、qz²−1 over z(z−1) とE関数の積を含む留数公式を満たす。
• 偶数 r に対して、M_4(r;q) = q·M_3(r;q) が示され、これは命題5.2の証明に用いられる重要な恒等式を確認する。
• 本構成は、カック＝ムーディ群の二重被覆上における一般化されたメタプレクティック・ワイトカー関数の候補を提供し、数論と無限次元リー理論を結びつける。