[論文レビュー] Multiple Dirichlet Series for Affine Weyl Groups

Ian Whitehead|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、単純根鎖型 Kac-Moody Lie 群のアフィン Weyl 群（偶数ランク A 型を除く）に対して、双曲型曲線のパrameter 空間から導かれる4つの幾何的公理に基づき、関数方程式の群を満たす多重ゼータ関数を構成する。この系列は、L 関数のモーメントの計算に最適であり、特にアフィン D₄ を用いた二次 L 関数の中心点における4番目のモーメント、およびアフィン A₃ を用いた導手の除因子による重み付き2番目のモーメントの計算に適している。

ABSTRACT

Let W be the Weyl group of a simply-laced affine Kac-Moody Lie group, excepting type A affine root systems of even rank. We construct a multiple Dirichlet series Z(x_1, ... x_n+1 meromorphic in a half-space, satisfying a group W of functional equations. This series is analogous to the multiple Dirichlet series for classical Weyl groups constructed by Brubaker-Bump-Friedberg, Chinta-Gunnells, and others. It is completely characterized by four natural axioms concerning its coefficients, axioms which come from the geometry of parameter spaces of hyperelliptic curves. The series constructed this way is optimal for computing moments of character sums and L-functions, including the fourth moment of quadratic L-functions at the central point via affine D₄ and the second moment weighted by the number of divisors of the conductor via affine A_3. We also give evidence to suggest that this series appears as a first Fourier-Whittaker coefficient in an Eisenstein series on the twofold metaplectic cover of the relevant Kac-Moody group. The construction is limited to the rational function field, but it also describes the p-part of the multiple Dirichlet series over an arbitrary global field.

研究の動機と目的

• 単純根鎖型 Kac-Moody Lie 群のアフィン Weyl 群（偶数ランク A 型を除く）に対して、関数方程式の群を満たす多重ゼータ関数を構成すること。
• 双曲型曲線のパラメータ空間の幾何から導かれる4つの自然な公理によって、この系列を特徴付けること。
• この系列が、キャラクター和および L 関数のモーメントの計算において最適であることを示すこと、特に中心点におけるモーメントを含む。
• この系列が、Kac-Moody 群の2重メタプレクティック被覆上の Eisenstein 級数の最初のフーリエ＝ホイッターコEFFICIENT として現れることの証拠を提供すること。
• 有理関数体上の構成を、任意のグローバル体上の p 部分に拡張すること。

提案手法

• 系列の係数を規定する4つの公理に基づく構成であり、これらは双曲型曲線のモジュライ空間の幾何から動機づけられる。
• 系列は、半空間上でメロモルフィック関数として定義され、アフィン Weyl 群 W の作用と同型な関数方程式を満たす。
• 古典的多重ゼータ関数の既知の構造を用い、それをアフィン Kac-Moody 環に一般化する。
• 系列が、Weyl 群作用下での挙動を通じて、L 関数のモーメントに関連する算術的データを符号化していることが示された。
• 構成は有理関数体に限定されるが、任意のグローバル体上の p-進成分を生成する。
• 系列が、Kac-Moody 群のメタプレクティック被覆上の Eisenstein 級数の最初のフーリエ＝ホイッターコEFFICIENT として現れることの証拠が提供された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純根鎖型 Kac-Moody Lie 群のアフィン Weyl 群（偶数ランク A 型を除く）に対して、どのように多重ゼータ関数を構成できるか？
• RQ2 このような系列の係数を規定する幾何的公理は何か？ そして、それらはどのように双曲型曲線のパラメータ空間から生じるか？
• RQ3 この系列が、キャラクター和および L 関数のモーメントの計算において、どのように最適であるか？
• RQ4 この系列は、Kac-Moody 群のメタプレクティック被覆上の Eisenstein 級数のフーリエ＝ホイッターコEFFICIENT として現れるか？
• RQ5 有理関数体上での構成は、任意のグローバル体上の系列の p 部分とどのように関係するか？

主な発見

• 構成された多重ゼータ関数は、アフィン Weyl 群 W と同型な関数方程式の群を満たし、半空間上でメロモルフィックである。
• この系列は、双曲型曲線のモジュライ空間の幾何から導かれた4つの公理によって完全に特徴付けられる。
• この系列は、アフィン D₄ Weyl 群を用いて、二次 L 関数の中心点における4番目のモーメントを計算可能にする。
• また、アフィン A₃ Weyl 群を用いて、導手の除因子による重み付き2番目のモーメントを計算可能にする。
• この系列が、Kac-Moody 群の2重メタプレクティック被覆上の Eisenstein 級数の最初のフーリエ＝ホイッターコEFFICIENT であることが示され、強い算術的証拠が得られた。
• 構成は有理関数体に限定されるが、任意のグローバル体上の多重ゼータ関数の p-進成分を生成する。