[論文レビュー] Moduli space actions on the Hochschild co-chains of a Frobenius algebra II: Correlators

Ralph M. Kaufmann|ArXiv.org|Jun 2, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Sullivanの弦図の離散化を用いて、Frobenius代数のHochschildコチェインにdg-PROP構造を上昇させるために、マークされた点と接ベクトルをもつ境界付きリーマン面のモジュライ空間のセルモデルと、操作的相関関数を用いる。主要な結果は、Hochschildコホモロジーに降下するHochschildコチェインへのdg-PROP作用であり、循環的双対性によってBV作用素がConnesの$B$-作用素と同定される。

ABSTRACT

This is the second of two papers in which we prove that a cell model of the moduli space of curves with marked points and tangent vectors at the marked points acts on the Hochschild co--chains of a Frobenius algebra. We also prove that a there is dg--PROP action of a version of Sullivan Chord diagrams which acts on the normalized Hochschild co-chains of a Frobenius algebra. These actions lift to operadic correlation functions on the co--cycles. In particular, the PROP action gives an action on the homology of a loop space of a compact simply--connected manifold. In this second part, we discretize the operadic and PROPic structures of the first part. We also introduce the notion of operadic correlation functions and use them in conjunction with operadic maps from the cell level to the discretized objects to define the relevant actions.

研究の動機と目的

• マークされた点と接ベクトルをもつ曲線のモジュライ空間のセルモデルが、Frobenius代数のHochschildコチェインに作用することの証明。
• Sullivanの弦図の離散化バージョンを用いて、正規化されたHochschildコチェインへのdg-PROP作用の確立。
• チェインレベルの作用をコホモロジー的構造へ上昇させる操作的相関関数の定義。
• Hochschildコホモロジー上のBV作用素が、フレームド小円板操作用素と同型な部分-PROPから生じることの示唆。
• 単連結多様体の自由ループ空間のホモロジーに作用を誘導することにより、ストリングトポロジーと接続すること。

提案手法

• Pennerのアーキペック複体のコンパクト化を用いて、モジュライ空間上の位相的操作用素構造を離散化する。
• 操作的相関関数を、循環的操作用素上のdg代数的構造として導入し、相関関数内でのOPEを符号化する。
• セルレベルのモデルからの操作的写像を用いて、組み合わせ的グラフ分解を通じてHochschildコチェインへの作用を定義する。
• Sullivanの弦図の部分的コンパクト化のセルチェインから、有理数的トポロジカルな擬似-PROPを構成する。
• チェイン上のdg-PROP構造を活用して、Frobenius代数のHochschildコチェインへの厳密なdg作用を誘導する。
• 作用を、$H_*(LM)$、すなわち自由ループ空間のホモロジーに収束するスペクトル系列の$E^1$項に適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マークされた点と接ベクトルをもつ境界付きリーマン面のモジュライ空間のセルモデルが、Frobenius代数のHochschildコチェインにどのように作用するか。
• RQ2 操作的相関関数は、ホモロジー代数の枠組み内で、量子場理論的OPEをどのように符号化するか。
• RQ3 Sullivanの弦図におけるdg-PROP構造が、Hochschildコチェインへのdg作用をどのように誘導するか。
• RQ4 循環的双対性の下で、Hochschildコホモロジー上のBV作用素がConnesの$B$-作用素とどのように一致するか。
• RQ5 $H_*(LM)$のスペクトル系列の$E^1$項における作用を、完全なホモロジーへ上昇させることは可能か。その結果、ストリングトポロジーにどのような含意があるか。

主な発見

• モジュライ空間$M_{g,n+1}^{1^{n+1}}$上の有理数的循環的操作用素構造が、そのセルモデルに循環的dg操作用素を誘導し、Frobenius代数のHochschildコチェインに作用する。
• この作用は、微分形式付き代数のコサイクルのテンソル代数上での操作的相関関数へ上昇され、一貫性のある量子場理論的構造を生じる。
• Sullivanの弦図のdg-PROPが、Frobenius代数の正規化されたHochschildコチェインに作用し、その作用はホモロジーに降下する。
• Frobenius代数のHochschildコホモロジーと循環的コホモロジーの同型の下で、Hochschildコホモロジー上のBV作用素はConnesの$B$-作用素と同定される。
• $H_*(LM)$のスペクトル系列の$E^1$項における作用は、ストリングトポロジー作用の幾何的実現を提供し、フィルトレーションと次数を保存する。
• Hochschild微分はPennerのコンパクト化されたアーキペック複体の使用を強制し、代数的制約と幾何的コンパクト化を結びつける。