[論文レビュー] Moduli spaces for linear differential equations and the Painlevé equations

Marius van der Put, Masa-Hiko Saito|ArXiv.org|Feb 10, 2009

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ℙ¹ 上のランク2接続の不規則特異点に関するモジュライ空間を構築し、Painlevé方程式を導く10個の等モノドロミー的族を体系的に導出する。接続のモジュライ空間からモノドロミー空間へのRiemann–Hilbert準同型を分析することで、1次元の変形空間を持つ族を同定し、それらから明示的な2階Painlevé型微分方程式およびハミルトニアン系を導出する。そのうち9つの族については、新たに得られた方程式が得られ、特に Ẽ₇、Ẽ₈、D₄ に付随するものも含まれる。

ABSTRACT

In this paper, we give a systematic construction of ten isomonodromic families of connections of rank two on $\mathbb{P}^1$ inducing Painlevé equations. The classification of ten families is given by considering the Riemann-Hilbert morphism from a moduli space of connections with certain type of regular and irregular singularities to a corresponding catetorical moduli space of analytic data (i.e., ordinary monodromy, Stokes matrices and links), which is called the monodromy space. Explicit equations of the monodromy spaces for ten families are calculated. Moreover, we obtain natural explicit families of connections for these ten cases and calculate isomonodromic equations which give Painlevé equations of all types.

研究の動機と目的

• ℙ¹ 上のランク2接続の10個の等モノドロミー的族を体系的に構築し、不規則特異点を含むPainlevé方程式を導出すること。
• 解析的データ（モノドロミー、Stokes行列、リンク）のカテゴリカル商として定義されるモノドロミー空間 𝒫 を定義し、そのパラメータ空間 𝒫 へのファイブレーションを分析すること。
• モノドロミー空間とOkamoto–Painlevé対 (S,Y) の間の対応を確立し、特に Ẽ₇、Ẽ₈、D₄ のような拡張されたDynkin図形を介してそれらを関連付けること。
• 10個の族それぞれに対して明示的な2階Painlevé型微分方程式およびそのハミルトニアン形式を導出すること、特にこれまで報告のなかったケースに対応する新たな方程式を含むこと。
• モノドロミー空間内の特異的三次曲面の幾何と、コンパクト化された曲面 S\Y 上の例外的曲線（Riccati曲線）を介してRiccati解を結びつけること。

提案手法

• 形式的および解析的データ（Stokes行列、モノドロミーを含む）を用いて、指定された特異点および一般化された指数をもつ ℙ¹ 上のランク2接続のモジュライ空間 ℳ を構築する。
• 解析的データのカテゴリカル商としてモノドロミー空間 𝒫 を定義し、モノドロミーとStokes行列のトレースから構成されるパラメータ空間への自然な準同型 𝒫 → 𝒫 を定義する。
• Riemann–Hilbert準同型 RH: ℳ → 𝒫 のファイバーとして等モノドロミー的族を同定し、ファイバーの次元が1であることを要請することで、1つの変形パラメータ t を得る。
• 各族に対して、顕在的特異点を分析し、symplectic 構造 Ω = dp ∧ dq − dH ∧ dt を構成することで、明示的な2階微分方程式 q'' = R(q, q', t) を導出する。
• ハミルトニアン系 dq/dt = −∂H/∂p, dp/dt = ∂H/∂q を用いてPainlevé方程式を導出し、各族に対して明示的なハミルトニアン H を与える。
• 特異的三次曲面ファイバー（例：A₁, A₂, D₄）の特異点と、コンパクト化された曲面 S\Y 上のRiccati曲線の数の関係を明らかにし、幾何と特殊解を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランク2接続の ℙ¹ 上の、不規則特異点をもつどの族が、Painlevé方程式の解をパrametrizeする等モノドロミー的変形をもたらすか？
• RQ2 これらの族のモノドロミー空間 𝒫 は、Okamoto–Painlevé対 (S,Y) やそれらに関連する拡張されたDynkin図形とどのように関係するか？
• RQ3 10個のPainlevé方程式それぞれに対応する明示的な2階微分方程式およびハミルトニアン系は何か、特に不規則特異点をもつ9つの族に対しては？
• RQ4 モノドロミー空間のファイバーにおける特異点（例：A₁, D₄）は、Painlevé方程式のRiccati解とどのように対応するか？
• RQ5 Riemann–Hilbert準同型 RH: ℳ → 𝒫 を、解析的解消 (S\Y) → 𝒫ₚ として解釈できるか。また、これによりコンパクト化された曲面の幾何とどのように関連するか？

主な発見

• 本稿は、ℙ¹ 上のランク2接続の10個の等モノドロミー的族を構築し、それぞれが1つの変形パラメータ t でパラメータ化されており、Painlevé方程式の解を導出する。
• Painlevé VI の場合、モノドロミー空間のファイバーは特異的三次曲面であり、D₄ 特異点をもつ。Riemann–Hilbert準同型は解消 (S\Y) → 𝒫ₚ を与え、タイプ ˜D₄ に対する予想を裏付ける。
• Painlevé VI の方程式は古典的であるが、残りの9つの族、特に ˜E₇、˜E₈、˜D₆ に付随するものについては、新たに得られた方程式であることが示された。
• Painlevé II (PII(Ẽ₇)) のハミルトニアン系は dq/dt = 2p, dp/dt = 2q² + tq + (p² − θ₀²/4)/q として導出され、ハミルトニアン H_IIFNE₇ = −(p² − θ₀²/4)/q + q² + tq が与えられる。
• Painlevé I 方程式 (PI(Ẽ₈)) は q'' = 6q² + 2t として導出され、ハミルトニアン H_IE₈ = −p² + q³ + tq および symplectic 形式 Ω = dp ∧ dq − dH_IE₈ ∧ dt が与えられる。
• モノドロミー空間のファイバーに現れる A₁, A₂, A₃, D₄ 特異点は、それぞれ曲面 S\Y 上の1、2、3、4本のRiccati曲線に対応し、幾何と特殊解を結びつける。