[論文レビュー] Moduli spaces of critical Riemannian metrics with L^{n/2} norm curvature bounds

Xiuxiong Chen, Brian Weber|ArXiv.org|May 30, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$L^{n/2}$-ノルムによる曲率の有界性、一様なソボレフ定数の有界性、体積・径路の制約の下で、コンpaktoな多様体上の極値ケーラー計量のモジュライ空間の弱コンパクト性を確立する。このようなモジュライ空間は、曲率と極値ベクトル場のための連立楕円型方程式系に対する新規な$\epsilon$-正則性議論を用いて、有限個の特異点を持つ軌道体を含む形でコンパクト化可能であることが示された。

ABSTRACT

We consider the moduli space of the extremal Kähler metrics on compact manifolds. We show that under the conditions of two-sided total volume bounds, $L^{n\over2}$-norm bounds on $\Riem$, and Sobolev constant bounds, this Moduli space can be compactified by including (reduced) orbifolds with finitely many singularities. Most of our results go through for certain other classes of critical Riemannian metrics.

研究の動機と目的

• リーマン曲率の$L^{n/2}$-ノルム、全体積、径路、ソボレフ定数に関する一様有界性の下で、極値ケーラー計量のモジュライ空間の弱コンパクト性を確立すること。
• アインシュタイン計量およびスカラー曲率が一定のケーラー計量に対するコンパクト性結果を、より広いクラスの極値ケーラー計量へと拡張すること。
• 上記の有界性の下で、モジュライ空間が有限個の特異点を持つ（縮約された）軌道体を含む形でコンパクト化可能であることを証明すること。
• 極値計量条件から生じる連立楕円型方程式系に対する新しい$\epsilon$-正則性理論を構築すること。
• 曲率とソボレフ有界性の下で、スカラー曲率の$W^{2,2}$-有界性および極値ベクトル場$X$の$L^2$-有界性が事前に制御可能であることを示すこと。

提案手法

• 6階の極値計量方程式を、$\triangle \mathop{\rm Rm} = \nabla^2 \mathop{\rm Ric} + \mathop{\rm Rm} * \mathop{\rm Rm}$、$\triangle \mathop{\rm Ric} = \mathop{\rm Ric} * \mathop{\rm Rm} + \nabla X$、$\triangle X = \mathop{\rm Rm} * X$という3つの関連する2階楕円型偏微分方程式に分解する。
• 点での曲率および$X$の微分の局所的減衰を、球体内の曲率の$L^{n/2}$-ノルムが小さい場合に制御する$\epsilon$-正則性定理を用いる。
• Hölderの不等式とSobolev埋め込みを用いた帰納法により、$\nabla^p \mathop{\rm Rm}$、$\nabla^p \mathop{\rm Ric}$、$\nabla^p X$の高階$ L^k $-ノルムを、低階のノルムと曲率項で制御する。
• 技術的補題を用いて、ソボレフ定数の有界性を活用し、低階のノルムと曲率項を介して高階微分を有界化する。
• 連立系の構造を活かして、$\mathop{\rm Rm}$の$L^{n/2}$-ノルムとソボレフ制御から、$X$および$\nabla X$の$L^2$-ノルムを導出する。
• 吹き出し議論を適用し、与えられた有界性の下で曲率特異点が孤立しており、軌道体的であることを示し、コンパクト化に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲率の$L^{n/2}$-ノルム有界性、体積有界性、径路有界性、ソボレフ定数有界性の下で、極値ケーラー計量のモジュライ空間はコンパクト化可能か？
• RQ2 曲率および幾何的有界性を満たす極値ケーラー計量の列の極限空間の構造はいかなるものか？
• RQ3 曲率$\mathop{\rm Rm}$、リッチ曲率$\mathop{\rm Ric}$、極値ベクトル場$X$のための連立楕円型方程式系は、曲率およびその微分の正則性と減衰をどのように制御するか？
• RQ4 曲率の$L^{n/2}$-ノルム有界性およびソボレフ定数有界性は、曲率および極値ベクトル場の高階$ L^k $-正則性をどの程度まで保証するか？
• RQ5 曲率特異点が極限空間で孤立的かつ軌道体的になる条件は何か？

主な発見

• 曲率の$L^{n/2}$-ノルム有界性$\|\mathop{\rm Rm}\|_{n/2} \leq \Lambda$、体積$\mathop{\rm Vol} M \geq \nu$、径路$\leq \delta$、ソボレフ定数$C_g \leq C_S$を満たす臨界計量のモジュライ空間$\mathcal{M}(n, C_S, \Lambda, \nu, \delta)$は弱コンパクトである。
• 上記の有界性の下で、$\mathcal{M}$内の任意の列の弱極限は、有限個の特異点を持つ（縮約された）軌道体である。
• $\epsilon$-正則性定理が成立する：$\int_{B(o,r)} |\mathop{\rm Rm}|^{n/2} \leq \epsilon_0$ ならば、$a > n/2$ に対して $\|\nabla^q X\|_{L^a(B(o,r/2))} \leq C r^{-q-3+n/a} \|R\|_{L^{n/2}(B(o,r))}^{2/n}$ が成り立ち、定数は$C_S$、$a$、$q$、$n$に依存する。
• Hölderの不等式とSobolev埋め込みを用いた帰納法により、$\nabla^p \mathop{\rm Rm}$、$\nabla^p \mathop{\rm Ric}$、$\nabla^p X$の高階$ L^k $-ノルムは、低階のノルムと曲率項によって制御可能である。
• $X$および$\nabla X$の$L^2$-ノルムは、$\|\mathop{\rm Rm}\|_{n/2}$とソボレフ定数の観点から事前に有界であることが示され、弱コンパクト性の出発点が得られた。
• 吹き出し解析により、曲率特異点は、曲率とソボレフ有界性の下で孤立的かつ軌道体的であることが示された。