[論文レビュー] Moduli spaces of fundamental groups of curves in positive characteristic I

Yu Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正標数における点付き安定曲線の許容的基本群のための新しい位相的空間 $\overline{\Pi}_{g,n}$ を導入し、商モジュライ空間 $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}$ から $\overline{\Pi}_{g,n}$ への連続写像 $\pi_{g,n}^{\rm adm}$ を確立する。主な結果として、$(g,n) = (0,4)$ の場合にホメオモルフィズム予想が成り立つことが証明され、曲線のモジュライ空間が基本群の群論的データから再構成可能であることが示された。

ABSTRACT

In this series of papers, we investigate a new anabelian phenomenon of curves over algebraically closed fields of positive characteristic. Let $\overline M_{g, n}$ be the moduli space of curves of type $(g, n)$ over $\overline {\mathbb{F}}_p$. We introduce a topological space $\overline Π_{g, n}$ which can be determined group-theoretically from admissible fundamental groups of pointed stable curves of type $(g, n)$. By introducing a certain equivalence relation $\sim_{fe}$ on the underlying topological space $|\overline M_{g, n}|$ of $\overline M_{g, n}$, we obtain a topological space $\overline {\mathfrak{M}_{g, n}}:= |\overline {M_{g, n}}|/\sim_{fe}$. Moreover, there is a natural continuous map $π_{g,n}^{ m adm}: \overline {\mathfrak{M}}_{g, n} ightarrow \overline Π_{g, n}.$ Furthermore, we pose a conjecture (=the Homeomorphism Conjecture) which says that $π_{g,n}^{ m adm}$ is a homeomorphism. The Homeomorphism Conjecture generalizes all the conjectures in the theory of anableian geometry of curves over algebraically closed fields of characteristic $p$. One of main results of the present series of papers says that the Homeomorphism Conjecture holds when $ ext{dim}(\overline M_{g, n})=1$ (i.e., $(g, n)=(0,4)$ or $(g, n)=(1,1)$). In the present paper, we establish two fundamental tools to analyze the geometric behavior of curves from open continuous homomorphisms of admissible fundamental groups, which play central roles in the theory developed in the series of papers. Moreover, we prove that $π_{0,n}^{ m adm}([q])$ is a closed point of $\overline Π_{0,n}$ when $[q]$ is a closed point of $\overline {\mathfrak{M}}_{0, n}$. In particular, we obtain that the Homeomorphism Conjecture holds when $(g, n)=(0, 4)$.

研究の動機と目的

• 代数的に閉体上の正標数の曲線に対する、基本群を用いた新しいアーベル幾何の枠組みを構築すること。
• 許容的基本群の同型類のなす位相的空間 $\overline{\Pi}_{g,n}$ を定義し、それらがモジュライ空間の幾何とどのように関係するかを明らかにすること。
• $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n} \to \overline{\Pi}_{g,n}$ となる連続写像 $\pi_{g,n}^{\rm adm}$ を確立し、幾何的構造と群論的構造を結びつけること。
• $(g,n) = (0,4)$ の場合にホメオモルフィズム予想を証明し、モジュライ空間が基本群のデータから再構成可能であることを示すこと。

提案手法

• 有限商を用いて位相が定義された、許容的基本群の同型類のなすモジュライ空間 $\overline{\Pi}_{g,n}$ を導入する。
• $|\overline{M}_{g,n}|$ 上にフロベニウス作用を用いて同値関係 $\sim_{fe}$ を定義し、商空間 $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n} = |\overline{M}_{g,n}| / \sim_{fe}$ を得る。ここに誘導されたザリスキ位相が備わる。
• 幾何的点と群論的データを結ぶ自然な連続写像 $\pi_{g,n}^{\rm adm}: \overline{\mathfrak{M}}_{g,n} \to \overline{\Pi}_{g,n}$ を構成する。
• 許容被覆の理論と変形技法を用いて、特殊化の下での基本群の振る舞いを分析する。
• $[q]$ が $\overline{\mathfrak{M}}_{0,n}$ の閉点であるとき、$\pi_{0,n}^{\rm adm}([q])$ が $\overline{\Pi}_{0,n}$ の閉点であることを示し、重要な位相的制御を確立する。
• 構成可能性と一般化安定性を用いて、$\overline{\Pi}_{g,n}$ の開集合の逆像が $\overline{\mathfrak{M}}_{g,n}$ で開であることを示し、$\pi_{g,n}^{\rm adm}$ の連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数における曲線のモジュライ空間の位相的構造は、その基本群の群論的データから回復可能か？
• RQ2 ホメオモルフィズム予想で予想されているように、自然な写像 $\pi_{g,n}^{\rm adm}: \overline{\mathfrak{M}}_{g,n} \to \overline{\Pi}_{g,n}$ はホメオモルフィズムか？
• RQ3 許容的基本群の有限商は、$\overline{\Pi}_{g,n}$ の位相をどのように決定するか？
• RQ4 フロベニウス作用によって誘導される $|\overline{M}_{g,n}|$ 上の同値関係 $\sim_{fe}$ の幾何的意味は何か？
• RQ5 インert子群や体構造は、基本群の上への全射からどの程度再構成可能か？

主な発見

• ホメオモルフィズム予想は $(g,n) = (0,4)$ の場合に成り立つ。すなわち、$\pi_{0,4}^{\rm adm}$ はホメオモルフィズムである。
• $\pi_{g,n}^{\rm adm}$ は連続である。これは、各有限群 $G$ に対して $U_G \subseteq \overline{M}_{g,n}$ が開集合であることを示すことによって証明された。
• $(g,n) = (0,4)$ の場合、任意の閉点 $[q]$ に対して $\pi_{0,n}^{\rm adm}$ による像は $\overline{\Pi}_{0,n}$ の閉点である。
• 各閉点 $c$ および有限群 $G$ に対して、$U_G \cap M_c$ は $M_c$ で開集合である。これは $\pi_{g,n}^{\rm adm}$ の連続性を支持する。
• $\overline{\Pi}_{g,n}$ は、すべての位相的性質が曲線のアーベル的性質に対応するように構成されている。
• $\overline{\Pi}_{g,n}$ の有限商を用いた構成により、位相がモジュライ空間の幾何的構造を符号化していることが保証されている。