[論文レビュー] Moduli Spaces of Higher Spin Curves and Integrable Hierarchies

Tyler J. Jarvis, Takashi Kimura+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、$r$-スピン曲線のモジュライ空間上の交差数が、$ \mathrm{KdV}_r$階層の半古典的極限を解く生成関数をなすことを示すことにより、一般化されたWitten予想の genus-zero 部分を証明する。仮想クラスを介してランク $r-1$ のコホロジー場理論を構成し、$A_{r-1}$ 奇性の普遍変形の基底に同型なフォロビウス多様体が得られる。

ABSTRACT

We prove the genus zero part of the generalized Witten conjecture relating moduli spaces of spin curves to Gelfand-Dickey hierarchies. That is, we show that intersection numbers on the moduli space of stable r-spin curves assemble into a generating function which yields a solution of the semiclassical limit of the KdV_r equations. We formulate axioms for a cohomology class on this moduli space which allow one to construct a cohomological field theory of rank $r-1$ in all genera. In genus zero it produces a Frobenius manifold which is isomorphic to the Frobenius manifold structure on the base of the versal deformation of the A_{r-1} singularity. We prove analogs of the puncture, dilaton, and topological recursion relations by drawing an analogy with the construction of Gromov-Witten invariants and quantum cohomology.

研究の動機と目的

• higher spin 曲線と $ \mathrm{KdV}_r$ 可積分階層との関係を記述し、一般化された Witten 予想の genus-zero 部分を証明すること。
• ランク $r-1$ のコホロロジー場理論 (CohFT) の公理を満たす、$r$-スピン曲線のモジュライ空間上に仮想コホロロジー類を定義すること。
• 得られる状態空間上のフォロビウス多様体構造が、$A_{r-1}$ 奇性の普遍変形の基底のそれと同型であることを確立すること。
• Gromov-Witten 理論に類似して、$r$-スピン CohFT における穴あき、拡張、トポロジカル再帰関係を検証すること。

提案手法

• genus zero において、$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}$ 上に仮想クラス $c^{1/r}$ を定義し、そのクラスをテーキョウバンドルの最高チェーン類として与える。これは CohFT の公理を満たす。
• 積分 $\int_{\overline{\mathcal{M}}_{0,n}^{1/r}} c^{1/r} \cdot \psi_{1}^{k_1} \cdots \psi_{n}^{k_n} \cdot \mu_{1}^{\epsilon_1} \cdots \mu_{n}^{\epsilon_n}$ を用いて、大位相空間の生成関数 $\Phi_{0}(\mathbf{t})$ を構成する。
• $\Phi_{0}(\mathbf{t})$ がストリング方程式および WDVV 方程式を満たすことを証明し、解の一意性を保証する。
• $\Phi_{0}(\mathbf{t})$ が一意性定理を用いて $ \mathrm{KdV}_r$ 階層の半古典的極限と一致することを示す。
• フォロビウス多様体の同型を用いて、$r$-スピン CohFT を $A_{r-1}$ 奇性の普遍変形空間に結びつける。
• $r=2$ の場合を検証し、生成関数が KdV 階層の Kontsevich の $\tau$-関数に還元されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}^{1/r}$ 上の交差数は、$ \mathrm{KdV}_r$ 階層の半古典的極限を解くか？
• RQ2 仮想クラスを用いて、$r$-スピン曲線のモジュライ空間上にランク $r-1$ のコホロジー場理論を構成できるか？
• RQ3 $r$-スピン状態空間上のフォロビウス多様体構造は、$A_{r-1}$ 奇性の普遍変形のそれと同型か？
• RQ4 $r$-スピン CohFT において、穴あき、拡張、トポロジカル再帰関係は、Gromov-Witten 理論に類似して成り立つか？

主な発見

• ランク $r-1$ の $r$-スピン CohFT の genus-zero 生成関数 $\Phi_{0}(\mathbf{t})$ はストリング方程式および WDVV 方程式を満たし、解の一意性が保証される。
• $r=2$ の場合、$r$-スピン CohFT の生成関数は Kontsevich の $\tau$-関数と一致し、元の Witten 予想の genus-zero の場合が裏付けられる。
• $g=0$ および任意の $r$ に対して、生成関数 $\Phi_{0}(\mathbf{t})$ は $ \mathrm{KdV}_r$ 階層の半古典的極限と一致し、genus-zero 一般化 Witten 予想が証明される。
• $r$-スピン CohFT に関連するフォロビウス多様体は、$A_{r-1}$ 奇性の普遍変形の基底のそれと同型である。
• 仮想クラス $c^{1/r}$ は、$\overline{\mathcal{M}}_{0,n}^{1/r}$ 上のテーキョウバンドルの最高チェーン類として実現され、すべての必要な CohFT 公理を満たす。
• $r$-スピン CohFT の生成関数は変数 $t_n^{r-1}$ に依存せず、仮想クラスの消滅公理と整合的である。